[论文解读] On the automorphy of $l$-adic Galois representations with small residual image

Jack A. Thorne|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 77

一句话总结

本文通过在残余表示上引入一个弱化条件——'adequate'（充分）图像——取代先前的'big'（大）图像假设，建立了关于CM域上$ l $-adic伽罗瓦表示进入$ \mathrm{GL}_n $的新自守提升定理。该方法通过改进局部变形问题，强化了Taylor-Wiles配凑技术，使得在以往定理失效的情况下（特别是残余图像较小或非大图像时）也能获得自守性结果。

ABSTRACT

We prove new automorphy lifting theorems for essentially conjugate self-dual Galois representations into $GL_n$. Existing theorems require that the residual representation have 'big' image, in a certain technical sense. Our theorems are based on a strengthening of the Taylor-Wiles method which allows one to weaken this hypothesis.

研究动机与目标

• 将$ \mathrm{GL}_n $伽罗瓦表示的自守提升定理扩展至超越严格'big'图像条件的范围。
• 将残余伽罗瓦表示图像的假设从'big'弱化为'adequate'，这是一种更灵活的条件，但仍能支持Taylor-Wiles配凑方法。
• 在'adequate'图像条件下证明普遍变形环的有限性，从而支持潜在自守性和权改变的应用。
• 推广最小化与典型自守提升定理，特别是将Geraghty的典型情形推广至更广泛的情形。
• 通过证明变形环上的有限性结果，为朗兰兹纲领的未来应用提供技术基础。

提出的方法

• 引入$ \mathrm{GL}_n(k) $中子群的'adequate'概念，其条件弱于'big'，但仍能支持Taylor-Wiles配凑方法。
• 在$ l $-以上位置定义新的局部变形问题，允许比以往工作更一般的分歧类型。
• 在'adequate'图像假设下利用Taylor-Wiles系统的存在性，构造Taylor-Wiles方法中的配凑函子。
• 通过$ \ell $-进$ \mathrm{GL}_n $的光滑表示理论（特别是Iwahori固定向量）在自守侧进行局部计算。
• 通过配凑特征簇方法构造Hecke模，将伽罗瓦变形与自守形式联系起来。
• 利用向可解CM扩张的基变更，证明在'adequate'图像条件下普遍变形环$ R^\mathrm{univ}_{\mathcal{S}} $的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将$ \mathrm{GL}_n $伽罗瓦表示的自守提升定理扩展到残余图像非'big'的情形？
• RQ2 何种最小条件下的残余图像仍能保证Taylor-Wiles配凑方法成功？
• RQ3 能否将典型与最小自守提升定理推广至原始假设之外的情形？
• RQ4 在何种条件下，普遍变形环$ R^\mathrm{univ}_{\mathcal{S}} $是$ \mathcal{O} $上的有限模？
• RQ5 在典型情形下（如特征$ l \geq 2(n+1) $的绝对不可约表示）'adequate'条件是否成立？

主要发现

• 本文证明：若残余伽罗瓦表示具有'adequate'图像且$ \zeta_l \not\in F $，则普遍变形环$ R^\mathrm{univ}_{\mathcal{S}} $是$ \mathcal{O} $-模的有限模。
• 对于特征$ l \geq 2(n+1) $的$ n $维绝对不可约表示，其图像为'adequate'，因此新定理适用于许多自然情形。
• 即使在$ R = \mathbb{T} $不成立的情况下，最小自守提升定理在'adequate'图像条件下仍可建立。
• 通过新的变形条件，将典型自守提升定理推广至允许权改变的情形。
• 通过向可解CM扩张$ M/F $的基变更，证明了$ R^\mathrm{univ}_{\mathcal{S}} $的有限性，此时变形问题更具可处理性。
• 在'adequate'图像条件下构建Taylor-Wiles系统，依赖于存在具有受控弗罗贝尼乌斯与分歧行为的辅助素数。