[论文解读] On the autonomous norm on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of the torus

Michael Brandenbursky, Jarek Kędra+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用 12

一句话总结

该论文通过构造具有任意大自主范数的哈密顿微分同胚的显式例子，证明了二维环面上哈密顿微分同胚群上的自主范数是无界的。作者通过利用辫子群作用在群上定义准同态，并证明其非平凡性与卡巴拉性质，从而借助利普希茨控制推导出范数的无界性。

ABSTRACT

We prove that the autonomous norm on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of the two-dimensional torus is unbounded. We provide explicit examples of Hamiltonian diffeomorphisms with arbitrarily large autonomous norm. For the proofs we construct quasimorphisms on $Ham(T^2)$ and some of them are Calabi.

研究动机与目标

• 解决关于 Ham(T²) 上自主范数是否有界的开放问题。
• 在 Ham(T²) 上构造非平凡的准同态，其在自主微分同胚上有界，从而蕴含自主范数的无界性。
• 通过辫子群表示与回文词条件，建立 Ham(T²) 上卡巴拉准同态的存在性。
• 提供具有任意大自主范数的哈密顿微分同胚的显式例子。

提出的方法

• 通过类 Gambaudo-Ghys 的构造，从纯辫子群 P₂(T²) 上的齐次准同态构造出 Ham(T²) 上的准同态的线性映射。
• 利用环面上两点配置空间的基本群与自由群 F₂ 的关系，定义在 F₂ 上的准同态 ξ，用于计算词路径中的净转向差。
• 证明准同态 ξ 在回文词上消失，从而使其可提升为 P₂(T²) 上良定义的准同态。
• 通过验证其在可平移球上的取值与卡巴拉同态一致，证明在 Ham(T²) 上诱导的准同态是非平凡的且具有卡巴拉性质。
• 建立从在回文词上消失的 F₂ 上的准同态到 Ham(T²) 上准同态的复合映射的单射性，确保构造的非平凡性。
• 利用自主范数相对于任何在生成集上有界的准同态是利普希茨的性质，并将其应用于所构造的准同态，从而证明无界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维环面上哈密顿微分同胚群上的自主范数是有界还是无界的？
• RQ2 能否通过环面上两点配置空间上的辫子群作用，在 Ham(T²) 上构造出非平凡的准同态？
• RQ3 这些准同态中是否有具有卡巴拉性质的，即在辛球上与卡巴拉同态一致？
• RQ4 能否构造出具有任意大自主范数的哈密顿微分同胚的显式例子？
• RQ5 从纯辫子群到 Ham(T²) 的准同态构造映射的核是否仅由同态组成？

主要发现

• 通过构造非平凡且相对于自主范数为利普希茨的准同态，证明了 Ham(T²) 上的自主范数是无界的。
• 存在具有任意大自主范数的哈密顿微分同胚的显式例子，这些例子通过 F₂ 上的蛇形准同态构造而成。
• 在环面平面上通过计算词路径中净转向差定义的准同态是无界的，并且在回文词上消失，从而可进行其齐次化。
• 在 Ham(T²) 上诱导的准同态是非平凡的且具有卡巴拉性质，因为其在可平移的辛球上与卡巴拉同态一致。
• 从在回文词上消失的 F₂ 上的准同态到 Ham(T²) 上准同态的复合映射是单射，从而确保了构造的非平凡性。
• 蛇形准同态满足 ξ([a,b]^n) = 4n - 1，因此其齐次化在交换子 [a,b] 上的取值为 4，从而确认了其非平凡性。