[论文解读] On the axiom of planes and the axiom of spheres in the almost Hermitian geometry

Ognian Kassabov|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文通过引入全纯与反全纯平面及球面的公理，建立了几乎殆凯勒流形上关于常曲率的卡坦定理的类比。证明表明：若一个几乎殆凯勒流形满足全纯 $2n$-平面或 $2n$-球面公理，则其必为具有点态常全纯截面曲率的 $RK$-流形；若满足反全纯版本，则其为实空间形式或复空间形式，从而将经典结果推广至几乎殆凯勒几何设定。

ABSTRACT

Criterions for constancy of the holomorphic sectional curvature and the antiholomorphic sectional curvature are proved for almost Hermitian manifolds. It is shown, that an almost Hermitian manifold satisfying the axiom of antiholomorphic planes or the axiom of antiholomorphic spheres is a real or a complex space form.

研究动机与目标

• 将卡坦关于常截面曲率的经典定理推广至几乎殆凯勒流形。
• 研究全纯或反全纯子流形（平面或球面）的公理是否在几乎殆凯勒几何中蕴含曲率的常数性。
• 将凯勒流形与 $RK$-流形上的已知结果推广至更广泛的几乎殆凯勒结构类。
• 建立几乎殆凯勒流形必为实空间形式或复空间形式的条件。

提出的方法

• 引入全纯 $2n$-平面与 $2n$-球面的公理，要求对每个全纯 $2n$-维子空间，存在具有非零平行平均曲率向量的全测地或全脐子流形。
• 应用曲率张量恒等式与对称性性质，推导出曲率张量在子流形法方向上为零的条件。
• 利用引理1与引理3，证明当 $R(X,JX,JX,Y)=0$ 对正交向量 $X,Y$ 满足 $g(X,JY)=0$ 时，蕴含点态常全纯截面曲率。
• 应用定理B，表明若曲率张量具有形式 $R = K R_1 + (c-K)/3 R_2$，则流形为实空间形式或复空间形式。
• 运用定理C，对具有点态常全纯与反全纯截面曲率的连通 $RK$-流形进行分类。
• 分析在反全纯公理下曲率张量的性质，表明在正交性约束下有 $R(X,Y,Y,Z)=0$，从而推出全纯与反全纯曲率的点态常数性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，满足全纯 $2n$-平面或 $2n$-球面公理的几乎殆凯勒流形具有常全纯截面曲率？
• RQ2 能否通过几何公理将经典卡坦关于常曲率的定理推广至非凯勒的几乎殆凯勒流形？
• RQ3 当几乎殆凯勒流形满足反全纯 $n$-平面或 $n$-球面公理时，会生成何种曲率结构？
• RQ4 当几乎殆凯勒流形同时具有点态常全纯与反全纯截面曲率时，是否必然为实空间形式或复空间形式？
• RQ5 几乎殆凯勒几何中平面与球面的公理如何与 $RK$-性质及曲率张量分解相关联？

主要发现

• 若一个几乎殆凯勒流形对 $1 \neq n < m$ 满足全纯 $2n$-平面或 $2n$-球面公理，则其为具有点态常全纯截面曲率的 $RK$-流形。
• 若流形对 $2 \neq n \neq m$ 满足反全纯 $n$-平面或 $n$-球面公理，则其同时具有点态常全纯与反全纯截面曲率。
• 此类流形的曲率张量必须具有形式 $R = K R_1 + (c-K)/3 R_2$，其中 $R_1$ 与 $R_2$ 为标准曲率张量。
• 对满足反全纯公理的连通 $2m$-维几乎殆凯勒流形（$m \neq 3$），其必为实空间形式或复空间形式。
• 结果将卡坦、刘-野口、陈-尾上等人的经典定理推广至几乎殆凯勒设定。
• 证明依赖于子流形法方向上曲率的消失，以及张量恒等式的应用，从而强制曲率不变量的全局常数性。