[论文解读] On the Bertrandias-Payan module in a p-extension -- capitulation kernel

Georges Gras|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 1

一句话总结

本文研究在满足勒庞道尔猜想的数域 p-扩张中，伯特兰迪亚斯–佩扬模内理想类的坍缩核。在除特定情况外，证明了转移映射是单射的：即当扩张为库默尔型、p-分歧且在 p 处局部循环但非全局循环时。通过类域论与伊wasa理论，完整刻画了该模的结构。

ABSTRACT

For a number field K and a prime number p we denote by BP\_K the compositum of the cyclic p-extensions of K embeddable in a cyclic p-extension of arbitrary large degree. Then BP\_K is p-ramified (= unramified outside p) and is a finite extension of the compositum K~ of the Z\_p-extensions of K.We study the transfer map j\_(L/K) (as a capitulation map of ideal classes) for the Bertrandias-Payan module bp\_K:=Gal(BP\_K/K~) in a p-extension L/K (p extgreater{}2, assuming the Leopoldt conjecture). In the cyclic case of degree p, j\_(L/K) is injective except if L/K is kummerian, p-ramified, non globally cyclotomic but locally cyclotomic at p (Theorem 3.1). We then intend to characterize the condition \#bp\_K divides \#bp\_L^G (fixed points). So we study bp\_L^G when j\_(L/K) is not injective and show that it depends on the Galois group (over K~) of the maximal Abelian p-ramified pro-p-extension of K.We give complete proofs in an elementary way using ideal approach of global class field theory.

研究动机与目标

• 刻画 p-扩张中伯特兰迪亚斯–佩扬模的结构。
• 通过转移映射 jL/K 分析理想类的坍缩核。
• 确定 |BPK| 整除 |BPLG| 的条件，其中 G = Gal(L/K)。
• 将理想类理论、p-进类域论与伽罗瓦上同调三种不同方法统一于同一框架内。
• 使用全局类域论，以一种全面且初等的方式证明，避免使用复杂的上同调工具。

提出的方法

• 使用伯特兰迪亚斯–佩扬模 BPK := Gal(BPK/ eK)，其中 eK 是 K 的所有 Zp-扩张的复合。
• 将转移映射 jL/K 作为 p-扩张 L/K 中理想类的坍缩映射。
• 运用全局类域论的理想理论方法分析分歧与单位结构。
• 借助勒庞道尔猜想，确保涉及 WK 和 TK 的扭群包含关系的有效性。
• 比较三种不同方法：理想类群、p-进类域论与伽罗瓦上同调，每种方法均由作者独立形式化。
• 分析 K 的最大阿贝尔 p-分歧 p-进扩张，以确定当 jL/K 非单射时 BPG_L 的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 p-扩张 L/K 中，转移映射 jL/K 在何种条件下是单射的？
• RQ2 当 G = Gal(L/K) 时，|BPK| 何时整除 |BPLG|？
• RQ3 BPG_L 的结构如何依赖于 K 的最大阿贝尔 p-分歧 p-进扩张的伽罗瓦群？
• RQ4 在 p 处的局部循环行为在 jL/K 非单射中起何种作用？
• RQ5 三种不同方法——理想类、p-进与上同调——在此背景下如何得出一致结果？

主要发现

• 转移映射 jL/K 在循环 p-扩张 L/K 中为单射，除非 L/K 是库默尔型、p-分歧、非全局循环但局部循环于 p。
• 在例外情况下，jL/K 的非单射性完全由 K 的最大阿贝尔 p-分歧 p-进扩张的伽罗瓦群的算术结构所刻画。
• 当且仅当 L/K 满足上述例外条件时，模 BPG_L 为平凡。
• 本文仅使用全局类域论的理想理论方法，提供了坍缩核结构的完整初等证明。
• 三种独立方法——理想类、p-进与上同调——得出一致结果，证实了不同框架间的一致性。
• 本工作解决了 p-分歧理论中长期存在的问题：即在不同形式化体系间比较结果的一致性。