[论文解读] On the Bicriterion Maximum Flow Network Interdiction Problem

Luca E. Schäfer, Stefan Ruzika+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2020

Bioeconomy and Sustainability Development被引用 2

一句话总结

本文提出了双目标最大流网络破坏问题（BMFNI），其中每条边具有两个独立的容量，破坏者旨在同时最小化两个最大流值。作者证明了BMFNI是NP-完全问题，并为两终端串联-并联图设计了一个伪多项式时间的动态规划算法，进一步将其扩展为单位破坏成本下的全多项式时间近似方案（FPTAS），实现了对Pareto前沿的任意精度近似。

ABSTRACT

This article focuses on a biobjective extension of the maximum flow network interdiction problem, where each arc in the network is associated with two capacity values. Two maximum flows from a source to a sink are to be computed independently of each other with respect to the first and second capacity function, respectively, while an interdictor aims to minimize the value of both maximum flows by interdicting arcs. We show that this problem is intractable and that the decision problem, which asks whether or not a feasible interdiction strategy is efficient, is NP-complete. We propose a pseudopolynomial time algorithm in the case of two-terminal series-parallel graphs and positive integer-valued interdiction costs. We extend this algorithm to a fully polynomial-time approximation scheme for the case of unit interdiction costs by appropriately partitioning the objective space.

研究动机与目标

• 正式化并分析一种新颖的双目标最大流网络破坏问题扩展，其特征为两条独立的边容量。
• 研究BMFNI的计算复杂性，特别是判断给定破坏策略是否为有效策略的困难性。
• 为两终端串联-并联图上的BMFNI问题开发基于动态规划的求解算法。
• 将该算法扩展为单位破坏成本情况下的全多项式时间近似方案（FPTAS）。
• 通过提供具有任意精度的近似方案，弥合网络破坏问题近似算法的空白。

提出的方法

• 将BMFNI形式化为一个双目标优化问题，包含两个独立的最大流目标和一个单一的破坏预算。
• 利用两终端串联-并联图的分解树进行动态规划，以计算非支配的破坏策略。
• 采用带有近似标签（Aε(H, x)）的标记技术，以控制解的质量并确保对真实Pareto集的(1+ε)近似。
• 通过串联和并联操作递归组合子图，利用串联-并联图的结构特性以保持效率。
• 引入标签支配性检查，以在动态规划过程的每个阶段仅保留非支配解。
• 通过适当地划分目标空间并使用流值的几何舍入，将伪多项式算法扩展为FPTAS。

实验结果

研究问题

• RQ1 判断给定破坏策略在BMFNI中是否为有效策略的决策问题是否为NP-完全问题？
• RQ2 双目标最大流网络破坏问题是否可在两终端串联-并联图上以伪多项式时间求解？
• RQ3 对于单位破坏成本的BMFNI，是否存在全多项式时间近似方案（FPTAS）？
• RQ4 串联-并联图的结构如何支持BMFNI高效动态规划算法的设计？
• RQ5 BMFNI问题是否可约化为特殊图类中的双目标背包问题？

主要发现

• 即使在仅含两个顶点和多条平行边的图上，BMFNI中判断破坏策略是否有效的决策问题也是NP-完全的。
• 两终端串联-并联图上的BMFNI问题存在一个伪多项式时间的动态规划算法。
• 对于单位破坏成本，所提出的算法可扩展为全多项式时间近似方案（FPTAS），实现对Pareto前沿的(1+ε)近似。
• FPTAS的运行时间上界为O(m³/ε² log²(mU) log(m/ε log(mU)))加上T·O(m³/ε² log²(mU))，其中T为求解单个最大流问题的时间。
• FPTAS保证所有计算出的解均在真实非支配解的(1+ε)倍范围内，且标签集Aε(H, x)确保了近似误差的有界性。
• 在特殊情况下，该问题可表述为双目标背包问题，从而可应用已知的近似技术。