[论文解读] On the binomial convolution of arithmetical functions

László Tóth, Pentti Haukkanen|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文引入并分析了通过素因数分解中的多项式系数定义的算术函数的二项式卷积。研究证明，算术函数在二项式卷积下的代数结构同构于经典的狄利克雷卷积代数，从而推导出新的莫比乌斯型反演公式，并建立了一个乘法形式的多项式定理。

ABSTRACT

Let $n=\prod_p p^{ν_p(n)}$ denote the canonical factorization of $n\in \N$. The binomial convolution of arithmetical functions $f$ and $g$ is defined as $(f\circ g)(n)=\sum_{d\mid n} (\prod_p \binom{ν_p(n)}{ν_p(d)}) f(d)g(n/d),$ where $\binom{a}{b}$ is the binomial coefficient. We provide properties of the binomial convolution. We study the $\C$-algebra $({\cal A},+,\circ,\C)$, characterizations of completely multiplicative functions, Selberg multiplicative functions, exponential Dirichlet series, exponential generating functions and a generalized binomial convolution leading to various Möbius-type inversion formulas. Throughout the paper we compare our results with those of the Dirichlet convolution *. Our main result is that $({\cal A},+,\circ,\C)$ is isomorphic to $({\cal A},+,*,\C)$. We also obtain a "multiplicative" version of the multinomial theorem.

研究动机与目标

• 研究算术函数二项式卷积的代数与数论性质。
• 从代数结构和函数行为的角度，比较二项式卷积与经典狄利克雷卷积。
• 完全刻画在二项式卷积下完全乘性和塞尔伯格乘性函数的结构。
• 基于二项式卷积框架，推导新的莫比乌斯型反演公式。
• 在算术函数的语境下，建立多项式定理的乘法类比。

提出的方法

• 将二项式卷积定义为 $(f \circ g)(n) = \sum_{d|n} \left( \prod_p \binom{\nu_p(n)}{\nu_p(d)} \right) f(d)g(n/d)$，其中 $\nu_p(n)$ 表示 $p$-进赋值。
• 引入函数 $\xi(n) = \prod_p \nu_p(n)!$ 作为连接二项式卷积与狄利克雷卷积的关键桥梁。
• 证明映射 $f \mapsto f/\xi$ 是代数同构，将 $({\cal A}, +, \circ, \mathbb{C})$ 映射到 $({\cal A}, +, *, \mathbb{C})$。
• 推导关系式 $f \circ g = \xi \cdot (f/\xi * g/\xi)$，将二项式卷积表示为狄利克雷卷积的形式。
• 为定义在集合 $X$ 上的函数引入广义卷积 $f \boxdot \alpha$，其中 $\varphi_n: X \to X$ 为映射，从而实现函数形式的莫比乌斯反演。
• 建立收敛条件，并在双级数关于 $f$、$f^{-1\circ}$ 和 $\xi$ 绝对收敛的前提下，推导出反演公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在算术函数的语境下，二项式卷积在代数上与狄利克雷卷积有何异同？
• RQ2 二项式卷积下 $\mathbb{C}$-代数 $({\cal A}, +, \circ, \mathbb{C})$ 的结构是怎样的？
• RQ3 能否为二项式卷积推导出莫比乌斯型反演公式？其收敛条件是什么？
• RQ4 函数 $\xi(n) = \prod_p \nu_p(n)!$ 在连接二项式卷积与狄利克雷卷积中起什么作用？
• RQ5 在算术函数的语境下，二项式卷积是否具有多项式定理的乘法类比？

主要发现

• 在二项式卷积下，$\mathbb{C}$-代数 $({\cal A}, +, \circ, \mathbb{C})$ 通过映射 $f \mapsto f/\xi$ 同构于经典的狄利克雷卷积代数 $({\cal A}, +, *, \mathbb{C})$。
• 二项式卷积保持完全乘性，且完全乘性函数的集合在 $\circ$ 运算下构成子群，这与在 $*$ 运算下的情形不同。
• 常数函数 $I(n) = 1$ 在二项式卷积下的逆是刘维尔函数 $\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}$，这与狄利克雷卷积下莫比乌斯函数的性质形成对比。
• 建立了广义的莫比乌斯型反演：若 $\alpha(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{\xi(n)} \beta(\varphi_n(x))$，则在绝对收敛条件下有 $\beta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{-1\circ}(n)}{\xi(n)} \alpha(\varphi_n(x))$。
• 推导出对称的莫比乌斯反演：若 $f(n) = \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{\xi(m)} g(mn)$ 且 $\sum n^\varepsilon |g(n)| < \infty$，则 $g(n) = \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{\Omega(m)}}{\xi(m)} f(mn)$，反之亦然。
• 作为同构关系与二项式卷积结构的推论，得到了乘法形式的多项式定理。