[论文解读] On the boundary theory of subordinate killed Lévy processes

Panki Kim, Renming Song+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文研究了通过在有界区域 $D\subset\mathbb{R}^d$（$d\geq2$）中先对子序布朗运动进行杀伤，再通过具有拉普拉斯指数 $\psi$ 的子序器对杀伤过程进行子序化而得到的子序杀伤 Lévy 过程 $Y^D$ 的边界势论。在 $\psi$ 和 $\phi$ 的弱标度条件下，作者建立了格林函数和跳跃核的精确双边估计，证明了 $\kappa$-胖集上的哈纳克不等式、在额外体积条件下成立的卡尔松估计，以及当 $\psi$ 的下弱标度指数大于 $1/2$ 时光滑区域上的边界哈纳克原理。值得注意的是，他们证明了当 $\psi(\lambda)=\lambda^\gamma$ 且 $\gamma\leq1/2$ 时，边界哈纳克原理不成立，这是首个在卡尔松估计成立但边界哈纳克原理不成立的情形。

ABSTRACT

Let $Z$ be a subordinate Brownian motion in ${\mathbb R}^d$, $d\ge 2$, via a subordinator with Laplace exponent $ϕ$. We kill the process $Z$ upon exiting a bounded open set $D\subset {\mathbb R}^d$ to obtain the killed process $Z^D$, and then we subordinate the process $Z^D$ by a subordinator with Laplace exponent $ψ$. The resulting process is denoted by $Y^D$. Both $ϕ$ and $ψ$ are assumed to satisfy certain weak scaling conditions at infinity. We study the potential theory of $Y^D$, in particular the boundary theory. First, in case that $D$ is a $κ$-fat bounded open set, we show that the Harnack inequality holds. If, in addition, $D$ satisfies the local exterior volume condition, then we prove the Carleson estimate. In case $D$ is a smooth open set and the lower weak scaling index of $ψ$ is strictly larger than $1/2$, we establish the boundary Harnack principle with explicit decay rate near the boundary of $D$. On the other hand, when $ψ(λ)=λ^γ$ with $γ\in (0,1/2]$, we show that the boundary Harnack principle near the boundary of $D$ fails for any bounded $C^{1,1}$ open set $D$. Our results give the first example where the Carleson estimate holds true, but the boundary Harnack principle does not. One of the main ingredients in the proofs is the sharp two-sided estimates of the Green function of $Y^D$. Under an additional condition on $ψ$, we establish sharp two-sided estimates of the jumping kernel of $Y^D$ which exhibit some unexpected boundary behavior. We also prove a boundary Harnack principle for non-negative functions harmonic in a smooth open set $E$ strictly contained in $D$, showing that the behavior of $Y^D$ in the interior of $D$ is determined by the composition $ψ\circ ϕ$.

研究动机与目标

• 为通过子序化杀伤 Lévy 过程而得到的一类非局部 Lévy 过程发展边界势论。
• 理解此类过程在有界区域边界附近的调和函数行为。
• 确定关键边界估计（哈纳克不等式、卡尔松估计与边界哈纳克原理）成立或不成立的条件。
• 建立过程 $Y^D$ 的格林函数和跳跃核的精确双边估计，揭示出意外的边界行为。

提出的方法

• 通过先在有界区域 $D$ 中对子序布朗运动 $Z$ 进行杀伤得到 $Z^D$，再通过具有拉普拉斯指数 $\psi$ 的子序器对 $Z^D$ 进行子序化，构造过程 $Y^D$。
• 分析依赖于子序器拉普拉斯指数 $\phi$ 和 $\psi$ 的弱标度条件，以确保底层过程的正则性。
• 利用概率与分析技术（包括子序器的潜在测度）推导出 $Y^D$ 的格林函数的精确双边估计。
• 通过将 $\psi\circ\phi$ 作为内部行为的关键生成器，利用调和函数的比较方法建立边界哈纳克原理。
• 在 $D$ 满足局部外部体积条件的前提下，利用积分估计和跳跃核的结构，证明卡尔松估计。
• 通过涉及测试函数和渐近估计的反证法，证明当 $\psi(\lambda)=\lambda^\gamma$ 且 $\gamma\leq1/2$ 时，边界哈纳克原理不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\kappa$-胖区域 $D$ 中，子序杀伤过程 $Y^D$ 的调和函数的哈纳克不等式在何种条件下成立？
• RQ2 当区域 $D$ 满足局部外部体积条件时，$Y^D$ 的非负调和函数的卡尔松估计在何种条件下成立？
• RQ3 对于光滑区域 $D$，$Y^D$ 的边界哈纳克原理的衰减速率是多少？其与 $\psi$ 的下弱标度指数有何关系？
• RQ4 即使卡尔松估计成立，边界哈纳克原理是否可能不成立？若成立，其在 $\psi$ 的何种条件下发生？
• RQ5 过程 $Y^D$ 的内部行为如何与子序器拉普拉斯指数的复合 $\psi\circ\phi$ 相关联？

主要发现

• 在 $\phi$ 和 $\psi$ 的弱标度条件下，非负调和函数的哈纳克不等式在任意 $\kappa$-胖有界区域 $D\subset\mathbb{R}^d$（$d\geq2$）中对 $Y^D$ 成立。
• 当 $\psi$ 满足弱标度条件时，若区域 $D$ 满足局部外部体积条件，则 $Y^D$ 的卡尔松估计成立。
• 对于光滑区域 $D$，当 $\psi$ 的下弱标度指数大于 $1/2$ 时，边界哈纳克原理以与 $\Phi(\delta_D(x))^{1/2}$ 成比例的显式衰减速率成立。
• 当 $\psi(\lambda)=\lambda^\gamma$ 且 $\gamma\in(0,1/2]$ 时，对于任意有界 $C^{1,1}$ 区域 $D$，边界哈纳克原理不成立，尽管卡尔松估计仍然成立。
• 在 $\psi$ 的弱标度条件下，建立了 $Y^D$ 的格林函数的精确双边估计，揭示了其对到边界距离的非平凡依赖关系。
• 在对 $\psi$ 的附加条件下，$Y^D$ 的跳跃核也具有精确双边估计，其表现出意外的边界行为，包括对数和幂律奇点。