[论文解读] On the canonical bundle formula for fibrations of relative dimension one in positive characteristic

Jakub Witaszek|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

本文在正特征下建立了相对维数为一的纤维化弱版典范丛公式，使双有理几何中的关键应用成为可能。利用许和张的最新成果，证明了代数闭域上特征 p > 5 的三维 klt 对的对数非零猜想，建立了非极大 nef 维度的三空间的对数丰沛猜想，以及在特征 p > 2 时，有限域代数闭包上三空间的基点自由定理。

ABSTRACT

We show that a weak version of the canonical bundle formula holds for fibrations of relative dimension one. We provide various applications thereof, for instance, using the recent result of Xu and Zhang, we prove the log non-vanishing conjecture for three-dimensional klt pairs over any algebraically closed field $k$ of characteristic $p>5$. We also show the log abundance conjecture for threefolds over $k$ when the nef dimension is not maximal, and the base point free theorem for threefolds over the algebraic closure of any finite field of characteristic $p>2$.

研究动机与目标

• 在正特征下，为相对维数为一的纤维化建立弱典范丛公式。
• 将此公式应用于证明代数闭域上特征 p > 5 的三维 klt 对的对数非零猜想。
• 证明当 nef 维度非最大时，三空间的对数丰沛猜想。
• 在特征 p > 2 时，证明有限域代数闭包上三空间的基点自由定理。

提出的方法

• 将双有理几何中的技术适配于处理正特征下相对维数为一的纤维化。
• 利用典范丛公式的弱形式来控制族中典范除子。
• 借助许和张在正特征下极小模型程序方面的最新进展。
• 将弱典范丛公式应用于推导三维 klt 对中对数典范除子的性质。
• 利用 nef 维度条件将对数丰沛问题约化为低维情形。
• 结合有限域几何与线丛正性结果，证明基点自由定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，相对维数为一的纤维化是否存在弱版典范丛公式？
• RQ2 此弱公式能否用于证明特征 p > 5 时三维 klt 对的对数非零猜想？
• RQ3 当 nef 维度非最大时，正特征下三空间的对数丰沛猜想是否成立？
• RQ4 在特征 p > 2 时，有限域代数闭包上三空间的基点自由定理是否成立？
• RQ5 正特征下极小模型程序的最新成果如何与相对维数为一的典范丛公式相互作用？

主要发现

• 在正特征下，相对维数为一的纤维化存在弱典范丛公式。
• 在代数闭域上特征 p > 5 的三维 klt 对中，对数非零猜想已得证。
• 当 nef 维度非最大时，三空间的对数丰沛猜想已建立。
• 在特征 p > 2 时，有限域代数闭包上三空间的基点自由定理已证明。
• 结果将极小模型程序在正特征下对三空间的应用扩展到了非最大 nef 维度的情形。