[论文解读] On the Capacity of Locally Decodable Codes

Hua Sun, Syed A. Jafar|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2018

Cryptography and Data Security参考文献 17被引用 4

一句话总结

本论文确定了完全平滑局部可解码码（LDCs）及其通用变体的容量，证明最大符号速率为 $ C^* = N(1 + 1/N + \cdots + 1/N^{K-1})^{-1} $，容量达到时的最小码长为 $ M = N^K $。结果被应用于最大下载成本下的私有信息检索（PIR），表明最小上传成本为 $ (K-1)"log N $，并进一步推广至可否认信息检索（RIR）。

ABSTRACT

A locally decodable code (LDC) maps $K$ source symbols, each of size $L_w$ bits, to $M$ coded symbols, each of size $L_x$ bits, such that each source symbol can be decoded from $N \leq M$ coded symbols. A perfectly smooth LDC further requires that each coded symbol is uniformly accessed when we decode any one of the messages. The ratio $L_w/L_x$ is called the symbol rate of an LDC. The highest possible symbol rate for a class of LDCs is called the capacity of that class. It is shown that given $K, N$, the maximum value of capacity of perfectly smooth LDCs, maximized over all code lengths $M$, is $C^*=N\left(1+1/N+1/N^2+\cdots+1/N^{K-1} ight)^{-1}$. Furthermore, given $K, N$, the minimum code length $M$ for which the capacity of a perfectly smooth LDC is $C^*$ is shown to be $M = N^K$. Both of these results generalize to a broader class of LDCs, called universal LDCs. The results are then translated into the context of PIR$_{\max}$, i.e., Private Information Retrieval subject to maximum (rather than average) download cost metric. It is shown that the minimum upload cost of capacity achieving PIR$_{\max}$ schemes is $(K-1)\log N$. The results also generalize to a variation of the PIR problem, known as Repudiative Information Retrieval (RIR).

研究动机与目标

• 确定具有 $ K $ 个源符号和局部性 $ N $ 的完全平滑局部可解码码（SLDCs）的符号速率（容量）的根本极限。
• 确定SLDC实现该容量所需的最小码长 $ M $。
• 将结果推广至通用局部可解码码（ULDCs），以扩展容量界限的适用范围。
• 将LDC容量结果转化为最大下载成本下的私有信息检索（PIR）语境，确立最小上传成本。
• 将发现推广至可否认信息检索（RIR），并证明其与PIR max在容量和上传成本上的等价性。

提出的方法

• 将符号速率定义为 $ L_w / L_x $，其中 $ L_w $ 为源符号大小，$ L_x $ 为编码符号大小，并通过组合与信息论论证推导出最大可实现速率 $ C^* $。
• 引入完全平滑LDCs（SLDCs）的概念，其中每个编码符号在每个源符号的解码集中均匀分布，确保访问均衡并具备抗干扰能力。
• 通过基于解码集覆盖与编码符号多重性的矛盾论证，证明容量 $ C^* = N(1 + 1/N + \cdots + 1/N^{K-1})^{-1} $ 是SLDCs与ULDCs的上界。
• 确立实现容量的最小码长 $ M $ 为 $ N^K $，该结果源于每个源符号的 $ N^{K-1} $ 个解码集必须由编码符号唯一覆盖的要求。
• 通过构建一个具有 $ N^K $ 个叶节点的 $ N $ 叉树结构，构造出达到容量的SLDC，其中每个解码集对应从根到叶的一条路径，且每组 $ N^{K-1} $ 个节点对应PIR中的一个数据库。
• 通过将SLDC结构映射至PIR max与RIR，将每个数据库分配给一组编码符号，确保每个查询从每个数据库检索一个编码符号，且通过完全平滑性与均匀解码集选择保证隐私与正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有 $ K $ 个源符号和局部性 $ N $ 的完全平滑局部可解码码，其最大可实现符号速率（容量）是多少？
• RQ2 完全平滑LDC实现该容量所需的最小码长 $ M $ 是多少？
• RQ3 这些结果如何推广至更广泛的通用局部可解码码（ULDCs）类别？
• RQ4 在最大下载成本度量（PIR max）下的私有信息检索（PIR）问题中，达到容量的方案的最小上传成本是多少？
• RQ5 结果如何推广至可否认信息检索（RIR），该场景下的最小上传成本是多少？

主要发现

• 具有 $ K $ 个源符号和局部性 $ N $ 的完全平滑LDC的容量为 $ C^* = N(1 + 1/N + 1/N^2 + \cdots + 1/N^{K-1})^{-1} $，这是该类码的最高可能符号速率。
• 实现该容量的最小码长 $ M $ 为 $ M = N^K $，且该界是紧的：不存在更短的码能实现容量 $ C^* $。
• 结果可推广至通用LDCs（ULDCs），其保持相同的容量与最小码长，表明其适用范围超越严格平滑码。
• 在PIR max问题中，达到容量的方案的最小上传成本为 $ (K-1)\log N $，其中 $ \log $ 为以 $ N $ 为底的对数，且该界是紧的。
• RIR（可否认信息检索）的容量与PIR max相等，最小上传成本同样为 $ (K-1)\log N $，表明其在根本极限上具有等价性。
• 容量达到的方案通过一个具有 $ N^K $ 个编码符号的 $ N $-部SLDC构建，其中每个解码集对应 $ N $-叉树中的一条唯一路径，从而确保访问均匀性与隐私性。