[论文解读] On the Clifford-Fourier transform

Hendrik De Bie, Yuan Xu|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2010

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文首次为偶数维 ℝᵐ 上的 Clifford-Fourier 变换提供了显式、封闭形式的核表达式，将其表示为贝塞尔函数的有限和。作者利用广义平移算子与卷积结构推导出逆公式，确立了该变换的酉性，并通过 osp(1|2) 李超代数框架将经典傅里叶分析推广至 Clifford 代数取值的函数。

ABSTRACT

For functions that take values in the Clifford algebra, we study the Clifford-Fourier transform on $R^m$ defined with a kernel function $K(x,y) := e^{\frac{i π}{2} Γ_{y}}e^{-i }$, replacing the kernel $e^{i }$ of the ordinary Fourier transform, where $Γ_{y} := - \sum_{j

研究动机与目标

• 推导高维欧氏空间中 Clifford-Fourier 变换积分核的显式、封闭形式表达式。
• 解决长期以来在 m=2 以外维度下获得 Clifford-Fourier 变换显式核的难题。
• 利用广义平移算子与卷积结构，建立 Clifford-Fourier 变换的逆公式。
• 通过 osp(1|2) 李超代数框架，将经典傅里叶分析推广至 Clifford 代数取值的函数。

提出的方法

• 核定义为 $ K_{-}(x,y) = e^{-i\frac{\pi}{2}\Gamma_{\underline{y}}}e^{-i\langle\underline{x},\underline{y}\rangle} $，其中 $ \Gamma_{\underline{y}} $ 是生成李代数 $ \mathfrak{osp}(1|2) $ 的微分算子。
• 通过 $ \Gamma_{\underline{y}} $ 的作用推导核的级数展开，并借助群表示理论进行简化。
• 在偶数 m 的情况下，核被表达为第一类贝塞尔函数 $ J_{\nu} $ 的有限和，其显式依赖于维度与径向变量。
• 广义平移算子 $ \tau_y f(x) $ 通过核定义，并用于在 Clifford 代数取值函数上构造非交换卷积 $ f *_{Cl} g $。
• 利用热核 $ \phi_t $ 证明逆公式，表明当 $ t \to 0 $ 时，$ \phi_t *_{Cl} f \to f $ 几乎处处成立，依赖于控制收敛定理。
• 证明卷积结构满足：当 f 为径向函数时，有 $ \mathcal{F}_-(f *_{Cl} g) = \mathcal{F}_-f \cdot \mathcal{F}_-g $，从而支持逆公式的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 当维度 $ m $ 为偶数时，Clifford-Fourier 变换的积分核 $ K_{-}(x,y) $ 的显式形式是什么？
• RQ2 在 Clifford-Fourier 设置下，如何定义广义平移算子与卷积，以实现逆变换？
• RQ3 是否可以使用热核逼近实现 Clifford-Fourier 变换的逆变换？在何种条件下成立？
• RQ4 在偶数维度下，核如何通过特殊函数（尤其是贝塞尔函数）简化？
• RQ5 osp(1|2) 李超代数在构建变换及其核结构中起到何种作用？

主要发现

• 对于偶数维 $ m $，核 $ K_{-}(x,y) $ 显式表示为贝塞尔函数 $ J_{\nu} $ 的有限和，其中 $ \nu = \frac{m}{2} - 1 $，提供了封闭形式表达式。
• 在 $ \mathcal{F}_-f \in B(\mathbb{R}^m) \otimes \mathcal{C}l_{0,m} $ 的条件下，利用热核逼近，为 $ B(\mathbb{R}^m) \otimes \mathcal{C}l_{0,m} $ 中的函数建立了 Clifford-Fourier 变换的逆公式。
• 当 $ f $ 为径向函数时，广义卷积 $ f *_{Cl} g $ 满足 $ \mathcal{F}_-(f *_{Cl} g) = \mathcal{F}_-f \cdot \mathcal{F}_-g $，且在此条件下卷积具有交换性。
• 该变换保持径向对称性：若 $ f $ 为径向函数，则 $ \mathcal{F}_-f $ 也为径向函数，且 $ \mathcal{F}_-f(x) $ 与所有 Clifford 代数元素可交换。
• 核表达式通过算子 $ \Gamma_{\underline{y}} $ 的作用导出，该算子生成李代数 $ \mathfrak{osp}(1|2) $，将变换与最小表示及径向形变联系起来。
• 该方法为 $ m > 2 $ 的偶数维提供了系统计算核的途径，扩展了以往仅限于 $ m=2 $ 或迭代构造的结果。