[论文解读] On the commutant of $C(X)$ in $C^*$-crossed products by $\mathbb{Z}$ and their representations

Christian Svensson, Jun Tomiyama|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文对 $C(X)$ 在 $\mathbb{Z}$ 上的 $C^*$-半直积中的交换子进行了详细分析，给出了交换子及其谱的明确描述，并证明了无论底层动力系统为何，该交换子总是与每个非零理想（无论是否闭合）相交。一个关键结果是 $C(X)^\prime$ 总是一个极大交换 $C^*$-子代数，并且普遍具有理想相交性质。

ABSTRACT

For the $C^*$-crossed product $C^*(Σ)$ associated with an arbitrary topological dynamical system $Σ= (X, σ)$, we provide a detailed analysis of the commutant, in $C^* (Σ)$, of $C(X)$ and the commutant of the image of $C(X)$ under an arbitrary Hilbert space representation $ ildeπ$ of $C^* (Σ)$. In particular, we give a concrete description of these commutants, and also determine their spectra. We show that, regardless of the system $Σ$, the commutant of $C(X)$ has non-zero intersection with every non-zero, not necessarily closed or self-adjoint, ideal of $C^* (Σ)$. We also show that the corresponding statement holds true for the commutant of $ ildeπ(C(X))$ under the assumption that a certain family of pure states of $ ildeπ(C^* (Σ))$ is total. Furthermore we establish that, if $C(X) \subsetneq C(X)'$, there exist both a $C^*$-subalgebra properly between $C(X)$ and $C(X)'$ which has the aforementioned intersection property, and such a $C^*$-subalgebra which does not have this property. We also discuss existence of a projection of norm one from $C^*(Σ)$ onto the commutant of $C(X)$.

研究动机与目标

• 为任意拓扑动力系统 $\Sigma = (X,\sigma)$ 的 $C^*$-半直积 $C^*(\Sigma)$ 中的交换子 $C(X)'$ 提供一个明确的描述。
• 确定 $C(X)'$ 的谱，并证明其在典范单位元 $\delta$ 的作用下保持不变。
• 研究 $C(X)'$ 的理想相交性质及其表示，特别是与纯态和非闭理想的关系。
• 考察介于 $C(X)$ 与 $C(X)'$ 之间的中间 $C^*$-子代数，并刻画那些具有理想相交性质的子代数。
• 建立从 $C^*(\Sigma)$ 到 $C(X)'$ 的范数为一的投影存在的条件，并证明当其存在时该投影是忠实的。

提出的方法

• 利用 GNS 构造以及与 $C^*(\Sigma)$ 上纯态 $\varphi_{y,t}$ 关联的不可约表示 $\tilde{\pi}_{y,t}$ 来分析交换子。
• 对于周期为 $q$ 的系统，明确描述 $C(X)'$ 为所有满足 $a(j) = 0$（当 $q \nmid j$ 时）的元素 $a \in C^*(\Sigma)$ 的集合。
• 应用 $\operatorname{Ad}\delta$ 和 $\operatorname{Ad}\delta^*$ 自同构，证明 $C(X)'$ 及其谱在对偶作用下保持不变。
• 利用纯态的完全族 $\Phi$ 证明 $C(X)'$ 与每个非零理想（即使非闭合）相交。
• 在 $C^*(\Sigma)$ 的代数部分上构造一个范数递减的线性映射 $E_0$，并通过连续性延拓为到 $C(X)'$ 上的范数为一的投影。
• 通过周期系统中纯态延拓的唯一性，证明范数为一的投影的唯一性与忠实性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意拓扑动力系统 $\Sigma = (X,\sigma)$，$C^*(\Sigma)$ 中的交换子 $C(X)'$ 的精确结构是什么？
• RQ2 $C(X)'$ 是否与 $C^*(\Sigma)$ 的每个非零理想相交，即使该理想非闭合或非自伴？
• RQ3 从 $C^*(\Sigma)$ 到 $C(X)'$ 的范数为一的投影在什么条件下存在？
• RQ4 满足 $C(X) \subset B \subset C(X)'$ 的中间 $C^*$-子代数 $B$ 在理想相交性质方面如何表现？
• RQ5 $C(X)'$ 的谱与 $\sigma$ 在 $X$ 上的动力学之间存在何种关系？

主要发现

• 交换子 $C(X)'$ 是 $C^*(\Sigma)$ 的一个交换 $C^*$-子代数，它在 $\operatorname{Ad}\delta$ 和 $\operatorname{Ad}\delta^*$ 作用下不变，其谱与周期点上的 $\sigma$-不变测度空间同胚。
• $C(X)'$ 与 $C^*(\Sigma)$ 的每个非零理想（即使非闭合或非自伴）都有非零交集，且这一性质对任意系统 $\Sigma$ 都成立。
• 若 $C(X)^\prime$ 严格大于 $C(X)$，则存在中间 $C^*$-子代数 $B_1$ 和 $B_2$，使得 $C(X) \subsetneq B_1 \subsetneq C(X)^\prime$ 且 $C(X) \subsetneq B_2 \subsetneq C(X)^\prime$，其中 $B_1$ 具有理想相交性质而 $B_2$ 不具有。
• 从 $C^*(\Sigma)$ 到 $C(X)'$ 的范数为一的投影存在的充要条件是 $\operatorname{Per}_k(\sigma)^0$ 对每个正整数 $k$ 都是闭集；此时投影唯一且忠实。
• 对于周期系统 $\Sigma = \operatorname{Per}_q(\sigma)$，存在唯一的范数为一的投影 $E_0$ 到 $C(X)'$，并通过在 $q$-周期分量上取平均显式构造。
• $C(X)'$ 的谱与满足 $y \in \operatorname{Per}_q(\sigma)$ 的纯态 $\varphi_{y,t}$ 的集合同胚，且 $\delta$ 的作用在该谱上诱导了一个同胚。