[论文解读] On the conection between the Liouville equation and the Schrodinger equation

Edelver Carnovali, H. M. França|ArXiv.org|Dec 6, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文通过使用具有小作用参数 $\alpha$ 的 Wigner 类型傅里叶变换，从相空间中的经典 Liouville 方程推导出一个经典的薛定谔型方程。当 $\alpha = \hbar$ 时，所得的关于经典概率振幅 $\Psi(x,t)$ 的方程在形式上与标准薛定谔方程完全相同，从而在不引入波粒二象性或量子理论基础假定的前提下，建立了经典统计力学与量子力学之间的数学桥梁。

ABSTRACT

We derive a classical Schrodinger type equation from the classical Liouville equation in phase space. The derivation is based on a Wigner type Fourier transform of the classical phase space probability distribution, which depends on an arbitrary constant $α$ with dimension of action. In order to achieve this goal two requirements are necessary: 1) It is assumed that the classical probability amplitude $Ψ(x,t)$ can be expanded in a complete set of functions $Φ_n(x)$ defined in the configuration space; 2) the classical phase space distribution $W(x,p,t)$ obeys the Liouville equation and is a real function of the position, the momentum and the time. We show that the constant $α$ appearing in the Fourier transform of the classical phase space distribution, and also in the classical Schrodinger type equation, has its origin in the spectral distribution of the vacuum zero-point radiation, and is identified with the Planck's constant $\hbar$.

研究动机与目标

• 为任意非线性势 $V(x)$ 建立经典 Liouville 方程与薛定谔方程之间的数学联系。
• 表明受 Liouville 方程控制的经典相空间概率分布 $W(x,p,t)$ 可以导出满足薛定谔型方程的经典概率振幅 $\Psi(x,t)$。
• 证明当引入一个微小作用参数 $\alpha$ 时，该薛定谔型方程自然出现，且当 $\alpha = \hbar$ 时，可得到标准量子形式。
• 阐明波粒二象性原理在此推导中并非必需，从而将经典概率振幅 $\Psi(x,t)$ 与量子波函数 $\psi(x,t)$ 区分开来。

提出的方法

• 对具有作用量维度的微小参数 $\alpha$ 的经典相空间分布 $W(x,p,t)$ 应用 Wigner 类型傅里叶变换。
• 通过 $|\Psi(x,t)|^2 = \int dp\, W(x,p,t)$ 定义经典概率振幅 $\Psi(x,t)$，以确保配置空间中概率密度的正定性。
• 推导假设 $\Psi(x,t)$ 可在配置空间中的一组完备函数 $\Phi_n(x)$ 中展开。
• 利用 Liouville 方程推导 $\Psi(x,t)$ 的微分方程，在 $y \to 0$ 的极限下应用中值定理后，得到薛定谔型方程。
• 所得方程为 $i\alpha \frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = \left[ \frac{1}{2M}\left(-i\alpha \frac{\partial}{\partial x}\right)^2 + V(x) \right]\Psi(x,t)$，在形式上与薛定谔方程完全一致。
• 通过与微观现象的一致性及对应原理，将参数 $\alpha$ 识别为普朗克常数 $\hbar$。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典相空间中的 Liouville 方程能否在配置空间中生成一个关于经典概率振幅 $\Psi(x,t)$ 的薛定谔型方程？
• RQ2 为从任意非线性势 $V(x)$ 的 Liouville 方程推导出薛定谔型方程，需要满足哪些数学条件？
• RQ3 引入微小作用参数 $\alpha$ 如何导致薛定谔方程的出现？$\alpha$ 的物理意义是什么？
• RQ4 为何标准 Wigner 变换无法对所有量子态产生正定的相空间分布？本推导如何避免此问题？
• RQ5 波粒二象性原理是否为从经典统计力学推导薛定谔方程所必需？

主要发现

• 当 $\alpha = \hbar$（即普朗克常数）时，所推导的经典概率振幅 $\Psi(x,t)$ 的方程在形式上与薛定谔方程完全相同。
• 经典概率振幅 $\Psi(x,t)$ 是一个实数数学对象，其模平方 $|\Psi(x,t)|^2$ 表示配置空间中的边缘概率密度，与 Born 规则一致。
• 该推导不依赖波粒二象性原理；经典振幅 $\Psi(x,t)$ 与 de Broglie 的导波无关。
• 当 $\Psi(x,t) = \Phi_n(x)e^{-i\epsilon_n t / \alpha}$ 时，可恢复本征值方程 $\left[ \frac{1}{2M}\left(-i\alpha \frac{\partial}{\partial x}\right)^2 + V(x) \right]\Phi_n(x) = \epsilon_n \Phi_n(x)$，表明与标准量子力学的一致性。
• 该 Liouville 方程与薛定谔方程之间的联系对任意势 $V(x)$ 均成立，推广了以往仅限于二次势的结论。
• 通过与微观现象的一致性，$\alpha$ 被识别为 $\hbar$，且该形式可自然推广至三维空间。