[论文解读] On the Constant Price of Anarchy Conjecture

Carme Àlvarez, Arnau Messegué|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2018

Game Theory and Applications参考文献 12被引用 8

一句话总结

该论文证明了对于任意常数 $\epsilon > 0$，当 $\alpha > n(1 + \epsilon)$ 时，网络创建博弈中的价格共轭（poA）为常数，其关键在于表明所有直径大于常数 $D_\epsilon$ 的纳什均衡必为树。主要贡献在于通过细化双连通分量分析与基于距离的偏离论证，将常数 poA 的适用范围扩展至先前结果之外。

ABSTRACT

We study Nash equilibria and the price of anarchy in the classic model of Network Creation Games introduced by Fabrikant et al. In this model every agent (node) buys links at a prefixed price $α> 0$ in order to get connected to the network formed by all the $n$ agents. In this setting, the reformulated tree conjecture states that for $α> n$, every Nash equilibrium network is a tree. Moreover, Demaine et al. conjectured that the price of anarchy for this model is constant. Since it was shown that the price of anarchy for trees is constant, if the tree conjecture were true, then the price of anarchy would be constant for $α> n$. Up to now it has been proved that the \PoA is constant $(i)$ in the \emph{lower range}, for $α= O(n^{1-δ})$ with $δ\geq \frac{1}{\log n}$ and $(ii)$ in the \emph{upper range}, for $α> 4n-13$. In contrast, the best upper bound known for the price of anarchy for the remaining range is $2^{O(\sqrt{\log n})}$. In this paper we give new insights into the structure of the Nash equilibria for $α> n$ and we enlarge the range of the parameter $α$ for which the price of anarchy is constant. Specifically, we prove that the price of anarchy is constant for $α> n(1+ε)$ by showing that every equilibrium of diameter greater than some prefixed constant is a tree.

研究动机与目标

• 解决网络创建博弈中更广泛 $\alpha$ 范围下的常数价格共轭猜想。
• 将已知价格共轭为常数的 $\alpha$ 范围扩展至先前结果之外。
• 证明当 $\alpha > n(1 + \epsilon)$ 时，任何具有足够大直径的纳什均衡必为树。
• 通过分析双连通分量及其度数上界，加强纳什均衡结构的理解。

提出的方法

• 引入一个依赖于直径的上界 $d(\alpha)$，用于限制非树均衡的直径，该上界由距离与连通性约束推导得出。
• 使用以最小化总距离的节点为根的BFS树，来界定购买额外边的“购物顶点”数量。
• 对直径超过 $d(\alpha)$ 的非平凡双连通分量 $H$，提出一种新颖的度数上界 $deg^+(H) \leq 1 + \frac{R'-1}{K}$，其中 $K$ 较大。
• 将该上界与由直径约束导出的下界 $deg^+(H) \geq 1 + \frac{1}{221}$ 联立，若 $H$ 存在则导出矛盾。
• 采用参数 $K = 222(R'-1)$ 来调节度数上界的紧致性，并控制直径阈值 $d(\alpha)$。
• 建立 $d(\alpha) = O\left(\left(\frac{\alpha}{\alpha - n}\right)^2 \log\left(\frac{\alpha}{\alpha - n}\right)\right)$，当 $\alpha > n(1 + \epsilon)$ 时该表达式为 $O(1)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在网络创建博弈中，当 $\alpha > n(1 + \epsilon)$ 时，价格共轭是否为常数？
• RQ2 能否通过证明大直径均衡必为树，从而在 $\alpha > n(1 + \epsilon)$ 时证明树猜想？
• RQ3 当图的直径足够大时，双连通分量的结构约束是什么？
• RQ4 通过增加直径和 $K$，能否使双连通分量中定向度数的上界任意接近 1？
• RQ5 该分析是否可推广至 $\alpha$ 接近 $n$ 的情形，例如 $\alpha = n/C$（$C > 1$ 为常数）？

主要发现

• 对于任意 $\epsilon > 0$，存在常数 $D_\epsilon$，使得当 $\alpha > n(1 + \epsilon)$ 时，所有直径大于 $D_\epsilon$ 的纳什均衡必为树。
• 当 $\alpha > n(1 + \epsilon)$ 时，价格共轭为常数，因为所有此类均衡均为树，且树的 poA 最多为 5。
• 直径阈值 $d(\alpha)$ 的上界为 $O\left(\left(\frac{\alpha}{\alpha - n}\right)^2 \log\left(\frac{\alpha}{\alpha - n}\right)\right)$，当 $\alpha > n(1 + \epsilon)$ 时该值为 $O(1)$。
• 在给定参数设置下，当直径超过 $d(\alpha)$ 时，任何非平凡双连通分量 $H$ 的定向度数上界为 $deg^+(H) \leq 1 + \frac{1}{222}$。
• 假设在大直径均衡中存在非平凡双连通分量 $H$ 会导致矛盾，从而证明此类分量不可能存在。
• 分析表明，当 $\alpha = \Omega(n)$ 时，双连通分量中的定向度数有常数上界，暗示该分析可能可推广至其他参数区间。