[论文解读] On the construction of renormalized gauge theories using renormalization group techniques

C. Becchi|ArXiv.org|Jul 24, 1996

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 6被引用 39

一句话总结

本文提出了一种基于威尔逊重正化群（WRG）方法的自洽微扰重正化规范场论构造，证明了威尔逊短距离展开和量子作用量原理的有效性。研究证明，通过非规范不变反项可补偿动量截断引起的规范对称性破缺，从而通过迭代求解微调方程，确保了 $SU(2)$ 杨-米尔斯理论在量子层次的一致性。

ABSTRACT

The aim of these lectures is to describe a construction, as self-contained as possible, of renormalized gauge theories. Following a suggestion of Polchinski, we base our analysis on the Wilson renormalization group method. After a discussion of the infinite cut-off limit, we study the short distance properties of the Green functions verifying the validity of Wilson short distance expansion. We also consider the problem of the extension to the quantum level of the classical symmetries of the theory. With this purpose we analyze in details the breakings induced by the cut-off in a $SU(2)$ gauge symmetry and we prove the possibility of compensating these breakings by a suitable choice of non-gauge invariant counter terms.

研究动机与目标

• 使用威尔逊重正化群方法，提供一种严格且自洽的微扰重正化规范场论构造。
• 在动量截断存在的情况下，建立威尔逊短距离展开对格林函数有效性的证明。
• 通过证明截断引起的对称性破缺可通过非规范不变反项补偿，解决规范场论中的量子异常问题。
• 证明有效作用量的微调方程具有迭代可解性，从而确保量子理论的可重正化性与一致性。
• 证明量子作用量原理与 BRS 上同调技术可用于系统分析截断正则化规范场论中的对称性结构。

提出的方法

• 采用波尔钦斯基的 WRG 框架，将有效作用量表述为带有动量截断的泛函积分，利用欧几里得路径积分确保收敛性。
• 有效作用量按 $\hbar$ 的幂次展开，第 $n$ 阶项通过一致性条件 $\mathcal{D} \mathcal{T}D_{\text{eff}}^{(n)} = 0$ 导出的微调方程迭代确定。
• 利用幂零的 BRS 算子 $\mathcal{D}$ 表征规范对称性，一致性条件被简化为上同调问题：$\mathcal{D} \mathcal{T}D_{\text{eff}}^{(n)} = 0$ 意味着 $\mathcal{T}D_{\text{eff}}^{(n)} = \mathcal{D} \overline{\mathcal{T}S_{\text{eff}}}^{(n)}$，从而保证解的存在性。
• 通过设定 $\mathcal{T}S_{\text{eff}}^{(n)} = -\Sigma_n$ 求解微调方程，其中 $\Sigma_n$ 是由低阶项构成的局部泛函，确保异常项被抵消。
• 该方法依赖于 BRS 上同调的结构：一致性条件的可解性归结为某类上同调类的平凡性，该性质在 $SU(2)$ 模型中已明确验证。
• 该方法避免使用传统费曼图森林与维度正规化，转而采用动量截断与 WRG 流方程的迭代求解，以保持显式的局域性与规范结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 威尔逊重正化群方法能否用于构造一种不依赖费曼图技术的自洽微扰重正化规范场论？
• RQ2 在截断正则化的量子场论中，格林函数的短距离展开如何被严格建立？
• RQ3 在杨-米尔斯理论中，动量截断引起的规范对称性破缺在多大程度上可通过非规范不变反项得到补偿？
• RQ4 量子作用量原理是否可在 WRG 框架内推导得出？其是否可用于分析规范场论的重正化结构？
• RQ5 BRS 上同调在确保截断正则化规范场论中微调过程的一致性方面起什么作用？

主要发现

• 在截断正则化框架中，威尔逊短距离展开得到严格验证，确认了其在分析格林函数短距离行为中的作用。
• 有效作用量的微调方程具有迭代可解性，且 $\mathcal{T}S_{\text{eff}}^{(n)} = -\Sigma_n$ 在每个 $\hbar$ 阶次均提供一致的解。
• 截断引起的 $SU(2)$ 规范对称性破缺通过特定选择的非规范不变反项得到补偿，从而保持了理论的量子一致性。
• 一致性条件 $\mathcal{D} \mathcal{T}D_{\text{eff}}^{(n)} = 0$ 被证明等价于 $\mathcal{T}D_{\text{eff}}^{(n)} = \mathcal{D} \overline{\mathcal{T}S_{\text{eff}}}^{(n)}$，从而将问题简化为某类上同调类的平凡性。
• 量子作用量原理被推导并应用于 $SU(2)$ 杨-米尔斯模型，展示了其在分析量子层次对称性结构方面的实用性。
• 该方法表明，微调方程的可解性等价于某类 BRS 上同调的平凡性，为规范场论中的重正化提供了上同调基础。