[论文解读] On the Cubical Homology Groups of Free Partially Commutative Monoids

Ahmet A. Husainov|ArXiv.org|Nov 1, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文建立了自由部分交换幺半群 $M(E,I)$ 的Leech同调群与预立方集 $T(E,I)$ 的立方同调群之间的同构，使得能够通过有限长度链复形计算同调。关键结果确认了此类幺半群及异步转移系统同调维数等于相互独立生成元/事件的最大数量，从而解决了长期存在的猜想，并可通过Smith标准形实现算法化计算。

ABSTRACT

We study a Leech homology of a locally bounded free partially commutative monoid $M(E,I)$. Given a contravariant natural system of abelian groups $F$ on $M(E,I)$ we build a precubical set $T(E,I)$ with a homological system of abelian groups $\bar{F}$ and prove that the Leech homology groups $H_n(M(E,I),F)$ are isomorphic to the cubical homology groups $H_n(T(E,I),\bar{F})$, $n\geq 0$. As a consequence we have confirmed a conjecture that if the free partially commutative monoid does not contain $>n$ mutually commuting generators, then its the homological dimension $\leq n$. We have built the complexes of finite length for a computation of the Leech homology of such monoids and the Hochschild homology of their monoid rings. The results are applied to the homology of asynchronous transition systems. We give the positive answer to a question that the homological dimension of the asynchronous system does not greater than the maximal number of its mutually independent events. We have built the complex for computing the integral homology groups of an asynchronous transition system by the Smith normal form of integer matrices.

研究动机与目标

• 为解决自由部分交换幺半群 $M(E,I)$ 的同调维数是否受相互对易生成元最大数量限制的猜想。
• 构造一个预立方集 $T(E,I)$ 及其同调系统 $\overline{F}$，使得其立方同调可计算 $M(E,I)$ 的Leech同调（带系数）。
• 将同构关系应用于异步转移系统，证明其同调维数受相互独立事件最大数量的限制。
• 构建有限长度链复形，以通过Smith标准形计算幺半群的整数同调及其幺半群环的Hochschild同调。

提出的方法

• 从 $M(E,I)$ 的生成元与对易关系构造预立方集 $T(E,I)$，以编码对易乘积的组合结构。
• 在 $T(E,I)$ 上定义由 $M(E,I)$ 上反变自然系统 $F$ 导出的同调系统 $\overline{F}$，以保持同调结构。
• 利用范畴论工具与Oberst关于余极限卫星的定理，证明Leech同调 $H_n(M(E,I), F)$ 同构于立方同调 $H_n(T(E,I), \overline{F})$。
• 利用同构关系构建有限长度链复形以计算同调，其中微分由满足 $e_1 < e_2 < \cdots < e_n$ 且 $(e_i,e_j) \in I$ 的事件序列的交错和定义。
• 通过将异步转移系统嵌入 $M(E,I)$-集，将该构造应用于异步转移系统，再通过相同的立方复形计算其同调。
• 利用边界矩阵 $d_n$ 的Smith标准形计算整数同调群，从而实现对有限系统的算法化计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 自由部分交换幺半群 $M(E,I)$ 的同调维数是否等于相互对易生成元的最大数量？
• RQ2 能否通过与预立方集 $T(E,I)$ 关联的立方复形计算 $M(E,I)$ 的Leech同调？
• RQ3 异步转移系统的同调维数是否受相互独立事件最大数量的限制？
• RQ4 能否构建有限长度链复形以计算 $M(E,I)$ 的幺半群环的Hochschild同调？
• RQ5 能否利用矩阵不变量（如Smith标准形）对异步转移系统的整数同调进行算法化计算？

主要发现

• 对所有 $n \geq 0$，Leech同调群 $H_n(M(E,I), F)$ 同构于立方同调群 $H_n(T(E,I), \overline{F})$，建立了基础性同构。
• 幺半群 $M(E,I)$ 的同调维数受相互对易生成元最大数量的限制，证实了对一般（可能无限）生成集的猜想。
• 对于不包含超过 $n$ 个相互独立事件的异步转移系统，其在度数 $k > n$ 处的同调群为零，从而证明了文献[12, 开放问题2]中的猜想。
• 为计算 $M(E,I)$-集的同调及其幺半群环的Hochschild同调，构建了有限长度链复形。
• 有限异步转移系统的整数同调群可通过边界矩阵 $d_n$ 的Smith标准形实现算法化计算。
• 该构造在异步转移系统与预立方集之间建立了函子性桥梁，且同调群在对应关系下保持不变。