[论文解读] On the Cycle Structure of Repeated Exponentiation Modulo a Prime Power

Min Sha|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2011

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文将重复模素数的周期点与轨长渐近公式扩展至模素数幂的情形，利用算术动力系统与等差级数中素数的分布，推导出模素数幂下平均循环长度与轨长的显式渐近表达式，推广了此前针对模素数的结果。

ABSTRACT

We obtain some results about the repeated exponentiation modulo a prime power from the viewpoint of arithmetic dynamical systems. Especially, we extend two asymptotic formulas about periodic points and tails in the case of modulo a prime to the case of modulo a prime power.

研究动机与目标

• 将周期点与轨长的渐近公式从模素数推广至模素数幂。
• 推导模素数幂乘法群中平均循环长度与轨长的显式表达式。
• 利用数论工具研究周期点与循环在不同素数幂下的分布。
• 将算术动力系统中重复模幂运算平均行为的结果推广至更高阶素数幂模数。

提出的方法

• 利用模素数幂乘法群的结构，结合单位群分解的已知结果。
• 应用中国剩余定理与欧拉函数的性质，分析循环函数与轨函数。
• 对等差级数中素数的和进行渐近分析，依赖于等差级数的素数定理。
• 利用莫比乌斯反演与乘法阶性质，统计给定长度的周期点与循环数量。
• 应用文献[2]的方法，通过最大公因数和乘法函数的估计，推导素数上的渐近平均值。
• 引入周期点与循环的渐近平均数量，通过在递增区间上的极限定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 当从模素数转向模素数幂时，重复模幂运算中周期点与轨长的渐近分布如何变化？
• RQ2 在模素数幂的乘法群中，平均循环长度与轨长可导出何种显式公式？
• RQ3 当模数为固定素数幂时，给定周期的周期点数量在素数上如何渐近增长？
• RQ4 在模素数幂的重复模幂动力系统中，给定长度的循环数量的渐近行为如何？
• RQ5 平均轨长与循环长能否用指数k的素因数分解表示？

主要发现

• 模p^m下周期r的周期点渐近平均数量，记为AP_r(k,m)，由一个收敛的欧拉乘积给出：∏_{i=1}^s (p_i^2 / (p_i^2 - 1)) - 1。
• 模p^m下长度为r的循环渐近平均数量，记为AC_r(k,m)，由乘法阶结构与素数幂模数上的除数和推导得出。
• 在素数p ≤ N下，平均循环长度c(k,m,N)满足：lim_{N→∞} S_0(k,m,N)/N^m = (1/(m+1)) ∑_{q∈Ω} 1/q^2，其中Ω是k的素因数的无平方积集合。
• 平均轨长t(k,m,N)满足：lim_{N→∞} S(k,m,N) = ∑_{q∈Ω} ψ(q)/q，其中ψ(q)是涉及p进赋值上取整函数的q的除数上的加权和。
• 论文给出了如下界：1/(k^2(m+1)) < lim S_0(k,m,N)/N^m < (2^s - 1)/(m+1)，表明其对k的互异素因数个数的依赖性。
• 证明了lim S(k,m,N) > 1/k 且 lim S(k,m,N) < 5√(p₁⋯pₛ)/((√p₁−1)⋯(√pₛ−1))，给出了平均轨长的显式定量控制。