[论文解读] On the Davis-Wielandt shell of an operator and the Davis-Wielandt index of a normed linear space

Pintu Bhunia, ‎Debmalya Sain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文引入了赋范线性空间的戴维斯-维兰德指标，并建立了其与算子理论和巴拿赫空间几何的联系。定义了修正的戴维斯-维兰德半径，该半径在有界算子空间上诱导出一个与算子范数等价的范数，并计算了若干三维多面体巴拿赫空间的精确戴维斯-维兰德指标，包括具有正多边形底面的柱体以及特定的六边形/八边形截面，提供了涉及角度参数的正弦与正切函数的显式公式。主要贡献是提出了一种通用方法，通过单位球的支撑泛函和极值点来估计任意多面体巴拿赫空间的指标。

ABSTRACT

We study the Davis-Wielandt shell and the Davis-Wielandt radius of an operator on a normed linear space $\mathcal{X}$. We show that after a suitable modification, the modified Davis-Wielandt radius defines a norm on $\mathcal{L}(\mathcal{X})$ which is equivalent to the usual operator norm on $\mathcal{L}(\mathcal{X})$. We introduce the Davis-Wielandt index of a normed linear space and compute its value explicitly in case of some particular polyhedral Banach spaces. We also present a general method to estimate the Davis-Wielandt index of any polyhedral Banach space.

研究动机与目标

• 定义并研究赋范线性空间上算子的戴维斯-维兰德壳与半径。
• 引入赋范线性空间的戴维斯-维兰德指标作为与算子范数和数值域相关的新型几何不变量。
• 建立一种修正的戴维斯-维兰德半径，该半径在有界线性算子空间上定义一个与标准算子范数等价的范数。
• 计算具有正多边形或对称截面的特定三维多面体巴拿赫空间的戴维斯-维兰德指标的精确值。
• 开发一种通用方法，利用单位球的支撑泛函和极值点来估计任意多面体巴拿赫空间的戴维斯-维兰德指标。

提出的方法

• 对于 T ∈L(X)，在 x ∈SX 处定义戴维斯-维兰德集为 DW(Tx) = {(x*(Tx), ||Tx||²) : x* ∈J(x)}。
• 引入戴维斯-维兰德壳 DW(T) = {(x*(Tx), ||Tx||²) : (x,x*) ∈Π} 和戴维斯-维兰德半径 dw(T) = sup{√|x*(Tx)|² + ||Tx||⁴ : (x,x*) ∈Π}。
• 提出修正的戴维斯-维兰德半径 dw*(T) = sup{√|x*(Tx)|² + ||Tx||² : (x,x*) ∈Π}，其在 L(X) 上定义一个与算子范数等价的范数。
• 对于赋范线性空间 X，定义戴维斯-维兰德指标 ηdw(X) = inf{dw(T) : T ∈SL(X)} 和修正指标 ηdw*(X) = inf{dw*(T) : T ∈SL(X)}。
• 利用克雷因-米尔曼定理和单位球的极值点结构，刻画有限维空间中 DW(Tx) 的凸包。
• 对于多面体巴拿赫空间，通过分析单位球面的面所对应的支撑泛函，并计算其在单位球面上的作用，来计算指标。

实验结果

研究问题

• RQ1 戴维斯-维兰德半径与 L(X) 上的标准算子范数之间有何关系？
• RQ2 赋范线性空间的戴维斯-维兰德指标如何与它的数值指标相关？
• RQ3 具有对称或正多边形截面的三维多面体巴拿赫空间的戴维斯-维兰德指标的精确值是多少？
• RQ4 能否开发一种通用方法来估计任意多面体巴拿赫空间的戴维斯-维兰德指标？
• RQ5 在什么条件下，对于多面体巴拿赫空间 X，有等式 ηdw(X) = √(n²(X) + 1) 成立？

主要发现

• 修正的戴维斯-维兰德半径 dw*(T) 在 L(X) 上定义了一个与标准算子范数等价的范数。
• 对于单位球由两个锥体粘合到一个以正方形为底面的直棱柱（顶点为 ±(1,1,1), ±(-1,1,1)，等等）构成的三维多面体巴拿赫空间，戴维斯-维兰德指标为 ηdw(X) = √5 / 2。
• 对于单位球顶点为 (cos((j-1)π/n), sin((j-1)π/n), ±1) 和 (0,0,±2) 的三维多面体巴拿赫空间，若 n 为奇数，则戴维斯-维兰德指标为 √(sin²(π/(2n)) + 1)；若 n 为偶数，则为 √(tan²(π/(2n)) + 1)。
• 对于具有正 2n 边形底面的三维直棱柱，若 n 为奇数，则戴维斯-维兰德指标为 √(sin²(π/(2n)) + 1)；若 n 为偶数，则为 √(tan²(π/(2n)) + 1)，且与柱体高度无关。
• 具有正 2n 边形单位球的二维多面体巴拿赫空间的戴维斯-维兰德指标与三维情况的公式相同，证实了高度无关性。
• 任意 n 维多面体巴拿赫空间的戴维斯-维兰德指标的下界为 min{ξ₁, ..., ξₘ}，其中 ξᵢ = minₓ∈SX max₁≤ᵣ≤ⁿ √(|fᵢᵣ(x)|² + 1)，fᵢᵣ 为在极值点处的支撑泛函。