[论文解读] On the derived functor analogy in the Cuntz-Quillen framework for cyclic homology

Guillermo Cortiñas⋆|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文通过在无穷小形变的范畴上对可数pro代数范畴进行局部化，形式化了Cuntz-Quillen框架中循环同调的导出函子类比，证明在特征零情形下，周期循环同调是de Rham上同调的导出函子。此外，还计算了有理K-理论的导出函子，将其识别为到负循环同调的Chern特征的纤维。

ABSTRACT

Cuntz and Quillen have shown that for algebras over a field $k$ with $char(k)=0$, periodic cyclic homology may be regarded, in some sense, as the derived functor of (non-commutative) de Rham (co-)homology. The purpose of this paper is to formalize this derived functor analogy. We show that the localization ${Def}^{-1}\Cal{PA}$ of the category $\Cal{PA}$ of countable pro-algebras at the class of (infinitesimal) deformations exists (in any characteristic) (Theorem 3.2) and that, in characteristic zero, periodic cyclic homology is the derived functor of de Rham cohomology with respect to this localization (Corollary 5.4). We also compute the derived functor of rational $K$-theory for algebras over $\Bbb Q$, which we show is essentially the fiber of the Chern character to negative cyclic homology (Theorem 6.2).

研究动机与目标

• 形式化Cuntz与Quillen所提出的周期循环同调与de Rham上同调之间的导出函子类比。
• 在任意特征下，建立可数pro代数范畴在无穷小形变类上的局部化 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$ 的存在性。
• 证明在特征零下，周期循环同调是相对于该局部化的de Rham上同调的导出函子。
• 计算在 $\mathbb{Q}$ 上代数的有理K-理论的导出函子，将其识别为到负循环同调的Chern特征的纤维。
• 引入并分析nil-同伦等价性及其在非交换代数几何中的同伦结构建模作用。

提出的方法

• 在可数pro代数范畴 $\mathcal{PA}$ 上构造无穷小形变类上的局部化 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$，并通过类似模型结构的方法证明其存在性。
• 引入pro代数同态之间的强与弱nil-同伦等价性，类比于模型范畴中的弱等价性。
• 证明 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$ 同构于弱nil-同伦等价性上的局部化，并等价于在强nil-同伦等价性下对拟自由pro代数的局部化。
• 将Poincaré函子定义为满足在pro幂级数扩张下不变性的函子 $\mathcal{PA} \to \mathcal{C}$，以保证左导出函子的存在性。
• 使用pro代数的 $X$-复构造来计算同调群并建立同伦等价性，特别针对幂pro代数 $P_A(V)$。
• 应用 $\varprojlim^1$ 的余滤定理来计算负循环同调空间 $SN(f)$ 的同伦群，表明其为Eilenberg-MacLane空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征零下，周期循环同调与de Rham上同调之间非正式的导出函子类比能否被正式确立？
• RQ2 在任意特征下，可数pro代数范畴在无穷小形变上的局部化 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$ 是否存在？
• RQ3 在非模型范畴设定下，何种条件能保证左导出函子的存在性？
• RQ4 有理 $K$-理论的导出函子与负循环同调之间有何关系？
• RQ5 对于投影 $P_A(V) \to A$，负循环同调空间 $SN(f)$ 的同伦类型是什么？

主要发现

• 在任意特征下，可数pro代数范畴在无穷小形变类上的局部化 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$ 存在，如定理3.2所确立。
• 在特征零下，周期循环同调是相对于局部化 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$ 的de Rham上同调的导出函子，如推论5.4所示。
• 在 $\mathbb{Q}$ 上代数的有理 $K$-理论的导出函子同构于到负循环同调的Chern特征映射的纤维，如定理6.2所述。
• 对于拟自由代数 $A$ 与向量空间 $V$，投影 $f: P_A(V) \to A$ 的负循环同调空间 $SN(f)$ 是Eilenberg-MacLane空间 $E(\Upsilon(A,V),1)$，其中 $\Upsilon(A,V)$ 是一个显式的余不变空间的阿贝尔群。
• 由于pro系统中结构映射的满射性，$\varprojlim^1$ 项在 $SN(f)$ 的同伦群中消失，从而保证对 $n \geq 2$ 有 $\pi_n(SN(f)) \cong \varprojlim H_n(f_i)$。
• 函子 $A \mapsto SN^\prime(A)$ 是Poincaré函子，其左导出函子是零同伦的，如推论6.9所示；而 $A \mapsto SN(A)$ 不是Poincaré函子。