[论文解读] On the Direct Cauchy Theorem in Widom Domains: Positive and Negative Examples

Peter Yuditskii|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2010

Holomorphic and Operator Theory参考文献 16被引用 13

一句话总结

本文研究了在Widom区域中直接柯西定理（DCT）的成立条件，证明了即使在不满足弱齐次性条件的情况下，DCT仍可对非齐次集合 $E$ 成立，例如某些对称且均匀分离的区间或修改后的Benedicks型集合。关键结果表明，在加权Widom条件与无限对数长度下，DCT在区域 $\mathbb{C} \setminus E_{\delta,q}$ 中成立，从而保证了具有可积边界值的非平凡Smirnov类函数的存在。

ABSTRACT

We discuss several questions which remained open in our joint work with M. Sodin "Almost periodic Jacobi matrices with homogeneous spectrum, infinite-dimensional Jacobi inversion, and Hardy spaces of character--automorphic functions". In particular, we show that there exists a non-homogeneous set $E$ such that the Direct Cauchy Theorem (DCT) holds in the Widom domain $\bbC\setminus E$. On the other hand we demonstrate that the weak homogeneity condition on $E$ (introduced recently by Poltoratski and Remling) does not ensure that DCT holds in the corresponding Widom domain.

研究动机与目标

• 解决先前关于黎曼面上无反射Jacobi矩阵与Hardy空间研究中的开放问题。
• 确定直接柯西定理（DCT）在Widom区域中对非齐次集合 $E$ 是否成立。
• 检验Poltoratski与Remling提出的弱齐次性条件是否足以保证在相应Widom区域中DCT成立。
• 建立DCT在具有无限对数长度的对称Widom区域中成立的充分条件。

提出的方法

• 利用广义Abel映射与在 $\Omega = \mathbb{C} \setminus E$ 的万有覆叠上的特征自守函数，将除子 $D(E)$ 与对偶群 $\Gamma^*$ 关联起来。
• 应用Koosis判别准则，验证当 $\int_{\mathbb{R}} G(t,z) dt < \infty$ 时，$E$ 是Akhiezer-Levin集合，从而推出 $\lim_{y \to \infty} \mathcal{M}_E(iy)/y > 0$。
• 从一个非平凡的Smirnov类函数 $F$（满足 $\int_{E_\delta} |F(x)| dx \leq 1$）出发，利用先验的指数界构造整函数 $H(z) = \int_{-\delta'}^{\delta'} F(z+t) dt$。
• 在 $\Omega = \mathbb{C} \setminus E_\delta$ 中应用Phragmén–Lindelöf原理，证明 $|H(z)| \leq e^{\epsilon \mathcal{M}_E(z)}$，从而迫使 $H$ 为常数，进而导致若 $F$ 非平凡则产生矛盾。
• 验证修改后的Benedicks型集合 $E_{\delta,q}$ 满足加权Widom条件 $\sum G(c_k,i)(b_k - a_k) < \infty$ 与无限对数长度 $\int_{E_\delta} dx/(1+|x|) = \infty$，从而确保DCT成立。
• 利用DCT证明：在 $\tilde{E} = \{0\} \cup \{x : 1/x \in E_{\delta,q}\}$ 上的每个无反射Jacobi矩阵均为几乎周期的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Widom区域中，对于非齐次集合 $E$，直接柯西定理（DCT）是否成立？
• RQ2 Poltoratski与Remling提出的弱齐次性条件是否足以保证在相应Widom区域中DCT成立？
• RQ3 在具有均匀分离区间的对称Widom区域中，$E$ 满足何种条件时DCT成立？
• RQ4 DCT是否在Benedicks集合的对称扰动下保持不变，特别是当对数长度为无限时？
• RQ5 DCT对无反射Jacobi矩阵谱理论有何影响？

主要发现

• 当 $b_k - a_k \geq 1$ 且 $\sum G(c_k,i)(b_k - a_k) < \infty$ 时，DCT在 $\Omega_\delta = \mathbb{C} \setminus E_\delta$ 中成立，其中 $E_\delta = \mathbb{R} \setminus \bigcup_{k=-\infty}^\infty (a_k + \delta, b_k - \delta)$，前提是 $\int_{E_\delta} dx/(1+|x|) = \infty$。
• 通过在Benedicks型集合上添加几何级数间隔构造的非齐次集合 $E_{\delta,q}$，满足在 $\mathbb{C} \setminus E_{\delta,q}$ 中DCT成立的条件。
• 弱齐次性条件不能保证DCT成立，反例表明即使满足弱齐次性，DCT仍可能不成立。
• 若存在一个非平凡的整函数 $F$ 属于Smirnov类且满足 $\int_{E_\delta} |F(x)| dx \leq 1$，则当DCT不成立时将导致矛盾，从而证明在给定条件下DCT必然成立。
• 对于 $p > 1$，集合 $\tilde{E} = \{0\} \cup \{x : 1/x \in E_{\delta,q}\}$ 仅支持几乎周期的无反射Jacobi矩阵，这是DCT的直接推论。