[论文解读] On the distribution of powers of real numbers modulo 1

Simon Baker|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文研究实数模1的幂的分布，聚焦于序列 $(\alpha^{q_n})$，其中 $(q_n)$ 是具有发散间隙的严格递增序列。通过基于 Bugeaud 和 Moshchevitin 方法的康托集构造，证明了对于任意此类序列和任意目标序列 $(r_n)$，满足 $\|\alpha^{q_n} - r_n\| \to 0$ 的 $\alpha > 1$ 的集合在 $(1,\infty)$ 中稠密，且具有全 Hausdorff 维数 1，展示了非均匀分布幂的丰富结构。

ABSTRACT

Given a strictly increasing sequence of positive real numbers tending to infinity $(q_{n})_{n=1}^{\infty}$, and an arbitrary sequence of real numbers $(r_{n})_{n=1}^{\infty}.$ We study the set of $α\in(1,\infty)$ for which $\lim_{n o\infty}\|α^{q_{n}}-r_{n}\|= 0$. In \cite{Dub} Dubickas showed that whenever $\lim_{n o\infty}(q_{n+1}-q_{n})=\infty,$ there always exists a transcendental $α$ for which $\lim_{n o\infty}\|α^{q_{n}}-r_{n}\|= 0.$ Adapting the approach of Bugeaud and Moshchevitin \cite{BugMos}, we improve upon this result and show that whenever $\lim_{n o\infty}(q_{n+1}-q_{n})=\infty,$ the set of $α\in(1,\infty)$ satisfying $\lim_{n o\infty}\|α^{q_{n}}-r_{n}\|= 0$ is a dense set of Hausdorff dimension $1$.

研究动机与目标

• 确定满足沿间隙发散序列 $q_n$ 有 $\|\alpha^{q_n} - r_n\| \to 0$ 的实数 $\alpha > 1$ 的集合的大小与结构。
• 通过证明解集不仅非空，而且在拓扑和分形意义下“大”，从而扩展 Dubickas 关于存在满足 $\|\alpha^{q_n}\| \to 0$ 的超越数 $\alpha$ 的结果。
• 建立该解集在 $ (1,\infty) $ 中稠密，且 Hausdorff 维数为 1，表明其在区间内达到最大大小。

提出的方法

• 通过嵌套紧区间构造 $ E \subset [\lambda, \lambda + \delta] $，其中 $ \lambda > 1 $，$ \delta > 0 $ 任意，以确保 $ \|\alpha^{q_n} - r_n\| $ 收敛于零。
• 定义嵌套集合 $ E_n $，使得 $ E_{n-1} $ 中的每个区间在 $ E_n $ 中至少包含 $ m_n = \lceil \lambda^{\eta(q_{n+1}-q_n)} \rceil $ 个子区间，以保证充分的分支。
• 建立 $ E_n $ 中区间之间的正间隙 $ \gamma_n \geq c / (q_n (\lambda + \delta)^{q_n - 1}) $，以控制分离性并支持维数估计。
• 应用文献 [4] 中的引理 2.1，通过 $ m_1 \cdots m_n $ 的对数增长与 $ \log(1/\gamma_n) $ 的比值，从下方有界 Hausdorff 维数。
• 对原序列 $ (q_n) $ 进行扰动得到 $ (\tilde{q}_n) $，以确保构造中所需的分离性和区间增长。
• 取 $ \eta \to 1 $ 和 $ \epsilon \to 0 $ 的极限，证明 $ [\lambda, \lambda + \delta] \cap E(q_n, r_n) $ 的维数恰好为 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ q_n $ 具有发散间隙时，满足 $ \|\alpha^{q_n} - r_n\| \to 0 $ 的 $ \alpha > 1 $ 的集合是否具有正 Hausdorff 维数？
• RQ2 尽管几乎所有 $ \alpha $ 生成模1下均匀分布的 $ \{\alpha^{q_n}\} $，该解集是否仍可在 $ (1,\infty) $ 中稠密？
• RQ3 即使 $ r_n $ 为常数或变化，该解集是否不可数且在分形意义下“大”？
• RQ4 此类 $ \alpha $ 的最优收敛速率 $ \|\alpha^{q_n} - r_n\| \to 0 $ 是什么？是否可由间隙序列控制？
• RQ5 该构造能否推广至 $ q_{n+1}/q_n \to 1 $ 的序列（如 $ q_n = n^2 $），以实现快速收敛速率？

主要发现

• 当 $ \lim_{n\to\infty}(q_{n+1} - q_n) = \infty $ 时，满足 $ \|\alpha^{q_n} - r_n\| \to 0 $ 的 $ \alpha > 1 $ 的集合 $ E(q_n, r_n) $ 在 $ (1,\infty) $ 中稠密。
• 对任意 $ \lambda > 1 $ 和 $ \delta > 0 $，集合 $ E(q_n, r_n) \cap [\lambda, \lambda + \delta] $ 的 Hausdorff 维数恰好为 1，表明其在每个子区间中均具有全维数。
• 对任意 $ k \in \mathbb{N} $，存在 $ \alpha > 1 $ 的稠密集，使得 $ \|\alpha^{n^2} - r_n\| = O(n^{-k}) $，表明对多项式序列可实现任意快的收敛速度。
• 即使 $ r_n $ 为常数（例如 $ \lim_{n\to\infty} \{\alpha^{q_n}\} = \kappa \in (0,1) $），该构造仍产生全 Hausdorff 维数的集合，证明了在大集合中存在非均匀分布。
• 证明表明，$ \dim_H(E(q_n, r_n)) = 1 $ 的维数界在 $ (1,\infty) $ 的所有区间 $ [\lambda, \lambda + \delta] $ 上一致成立，确认了全局全维数性。
• 收敛速率 $ \|\alpha^{q_n} - r_n\| \to 0 $ 可通过间隙序列控制：$ \epsilon_n $ 的衰减越慢，解集越大且维数仍为全维数。