[论文解读] On the exceptional zeros of Rankin-Selberg L-functions

Dinakar Ramakrishnan, Song Wang|ArXiv.org|Aug 8, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文研究了与模形式及其对称幂相关的 Rankin-Selberg L 函数的异常零点（Landau-Siegel 零点）。通过函子性和正性论证，证明了此类零点——若存在——仅来自整除该 L 函数的二次 Dirichlet L 函数，并在 s=1 附近建立了对称第六和第八幂 L 函数的有效全纯性界，其应用涵盖谱范数与系数界。

ABSTRACT

The main objects of study in this article are two classes of Rankin-Selberg L-unctions, namely L(s, f imes g) and L(s, sym^2(g) imes sym^2(g)), where f, g are newforms, holomorphic or of Maass type, on the upper half plane, and sym^2(g) denotes the symmetric square lift of g to GL(3). We prove that in general, i.e., when these L-functions are not divisible by L-functions of quadratic characters (such divisibility happening rarely), they do not admit any Landau-Siegel zeros. These zeros, which are real and close to s=1, are highly mysterious and are not expected to occur. There are corollaries of our result, one of them being a strong lower bound for special value at s=1, which is of interest both geometrically and analytically. One also gets this way a good bound on the norm of sym^2(g).

研究动机与目标

• 确定 Rankin-Selberg L 函数 $ L(s,\pi \times \pi') $ 在 $ s=1 $ 附近存在异常零点的条件，尤其关注 GL(2) 和 GL(3) 上的自守形式。
• 利用相关 L 函数中无异常零点的性质，对 Maass 形式 $ \text{sym}^2(f) $ 的 Petersson 范数建立紧确界。
• 证明对具有平凡特征的全纯新形式，其对称第六和第八幂 L 函数在 $ (1 - \frac{c}{\log M}, 1) $ 内全纯，其中 $ M $ 为加厚导子。
• 利用 $ L(s, \text{sym}^2(g) \times \text{sym}^2(g)) $ 在 $ s=1 $ 附近非零的性质，推导谱归一化首傅里叶系数 $ a(1,1) $ 的上界。

提出的方法

• 通过构造一个被感兴趣的 L 函数整除的正 Dirichlet 级数 $ D(s) $，使得 $ D(s)/L(s)^k $ 在 $ s=1 $ 的右邻域内全纯，以此检测异常零点。
• 应用 Goldfeld、Hoffstein、Lieman 和 Lockart 关于非二面体 $ \pi $ 的 $ L(s, \text{sym}^2(\pi)) $ 非零性的已知结果。
• 利用局部 Langlands 对应和表示论分析对称幂 L 函数在有限和阿基米德位处的全纯性。
• 依赖 Kim 和 Shahidi 关于对称幂至第八阶的自守性结果，并利用当 $ F/\mathbb{Q} $ 为伽罗瓦扩张且不包含二次域时，$ \zeta_F^S(s) $ 无异常零点的事实。
• 应用恒等式 $ L(s, \text{sym}^6(\pi)) = L(s, \text{sym}^2(\pi)) \cdot L(s, \text{sym}^4(\pi); \Lambda^2) $，将问题约化为已知的全纯性结果。
• 利用在非分歧或温良的局部分量下，$ \pi $ 的对称幂 L 函数在 $ \Re(s) > 1/2 $ 内全纯，且可将此性质延拓至非分歧位置外的不完全部分 L 函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Rankin-Selberg L 函数 $ L(s, \pi \times \pi') $ 可能在 $ s=1 $ 附近出现异常零点？
• RQ2 在多大程度上，$ L(s, \pi \times \pi') $ 的异常零点源于整除它的二次 Dirichlet L 函数？
• RQ3 对模形式的对称第六和第八幂 L 函数，其有效全纯带 $ (1 - \frac{c}{\log M}, 1) $ 是什么？
• RQ4 在 $ L(s, \text{sym}^2(\pi)) $ 中无异常零点的条件下，其如何影响 $ \text{sym}^2(f) $ 范数的界？
• RQ5 能否利用 $ L(s, \text{sym}^2(g) \times \text{sym}^2(g)) $ 的解析性质，推导出 $ \text{sym}^2(g) $ 的谱归一化首傅里叶系数 $ a(1,1) $ 的上界？

主要发现

• L(s, f \times g) 和 L(s, \text{sym}^2(g) \times \text{sym}^2(g)) 的异常零点集合，恰好是整除它们的二次 Dirichlet L 函数的异常零点的并集。
• 对于 $ \text{SL}(2,\mathbb{Z}) $ 上的 Maass 形式 $ f $，其在 $ \text{GL}(3)/\mathbb{Q} $ 上的 $ \text{sym}^2(f) $ 范数在拉普拉斯特征值 $ \lambda $ 的表达下具有紧确下界，类似于已知的 $ f $ 的 Petersson 范数界。
• 对具有平凡特征的全纯新形式，其对称第六和第八幂 L 函数在 $ (1 - \frac{c}{\log M}, 1) $ 内全纯，其中 $ c > 0 $ 为有效通用常数，$ M $ 为加厚导子。
• 谱归一化首傅里叶系数 $ a(1,1) $ 的 $ \text{sym}^2(g) $ 具有良好的上界，该上界由 $ L(s, \text{sym}^2(g) \times \text{sym}^2(g)) $ 在 $ s=1 $ 附近非零的性质导出。
• 不完全部分 L 函数 $ L^S(s, \pi; \text{sym}^6) $ 在 $ (1 - \frac{c}{\log M}, 1) $ 内全纯，当 $ F $ 为不包含二次域的 $ \mathbb{Q} $ 的伽罗瓦扩张时，$ \text{sym}^8 $ 同样成立。
• 证明依赖于 $ L(s, \text{sym}^4(\pi)) $ 和 $ \zeta_F^S(s) $ 在临界带内的非零性，该性质由已知结果及在给定假设下无异常零点所保证。