[论文解读] On the Existence of Absolutely Maximally Entangled States of Minimal Support

Antonio Bernal|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文证明了在局部维数为5的7个量子位中，不存在最小支撑的绝对最大纠缠（AME）态，解决了AME存在性问题中的一个关键情形。利用近期将非线性MDS码与线性码联系起来的结果，作者表明，必要条件 d ≥ ⌈n/2⌉ + 1 并不充分，因为尽管 AME(7,5) 态满足该界，但其仍被禁止存在。

ABSTRACT

In this paper we prove that no absolutely maximally entangled, AME, state with minimal support exists with 7 sites and 5 levels. General AME states are pure multipartite states that, when reduced to half or less of the sites, the maximum entropy mixed state is obtained. They have found applications in teleportation and quantum secret sharing, and finding conditions for their existence is a well known open problem. We consider the version of this problem for minimally supported AME states. We single out known both sufficient and necessary conditions in that case. From our negative result, we show that the necessary condition is not sufficient. The proof uses a recent result on the theory of general, nonlinear, classical codes.

研究动机与目标

• 确定多体量子系统中最小支撑绝对最大纠缠（AME）态的存在条件。
• 研究已知的 AME(n,d) 态最小支撑的必要条件 d ≥ ⌈n/2⌉ + 1 是否也充分。
• 解决关于最小支撑 AME(7,5) 态是否存在这一开放问题。
• 将经典编码理论的最新进展应用于量子信息问题，特别是非线性MDS码与线性码之间的联系。

提出的方法

• 利用本文中的定理1，建立了最小支撑AME态与特定参数的极大距离可分（MDS）码之间的等价性。
• 使用已知界限 L₅(3) = 6，即在 GF(5) 上不存在长度为7、维度为3的线性MDS码。
• 应用文献[5]中的近期结果，即任何在大小为5的字母表上、最小距离 ≥3 且大小为 5^k 的MDS码，均可通过坐标置换和符号置换转换为线性MDS码。
• 将 GF(5) 上长度为7、维度为3的线性MDS码的不存在性与该变换结果相结合，证明了具有相同参数的非线性MDS码也不存在。
• 利用AME态与MDS码之间的对偶性，将编码理论结果转化为量子信息结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小支撑的 AME(7,5) 态是否存在？
• RQ2 AME(n,d) 态最小支撑的必要条件 d ≥ ⌈n/2⌉ + 1 是否也充分？
• RQ3 非素数幂字母表上的非线性MDS码能否通过置换变换转化为线性码？
• RQ4 给定局部维数 d，最小支撑AME态存在的最大量子位数 N(d) 是多少？

主要发现

• 通过证明在 GF(5) 上不存在长度为7、维度为3、最小距离为5的对应MDS码，证明了不存在最小支撑的 AME(7,5) 态。
• 必要条件 d ≥ ⌈n/2⌉ + 1 并不充分，因为 AME(7,5) 满足该条件但并不存在。
• 对于局部维数 d=5，最小支撑AME态存在的最大量子位数 N(5) 为6，这与 2d−2 = 8 的上界矛盾。
• 该结果证实，GF(5) 上维度为3的线性MDS码的界限 L₅(3) = 6 可通过[5]中的变换结果推广至非线性MDS码。
• 当 d 为素数幂时，AME(n,d) 态最小支撑的存在性等价于在 GF(d) 上存在参数为 [n, ⌊n/2⌋, ⌈n/2⌉ + 1] 的MDS码。