[论文解读] On the existence of global-in-time weak solutions and scaling laws for Kolmogorov's two-equation model of turbulence

Alexander Mielke, Joachim Naumann|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems被引用 2

一句话总结

本文建立了在 R³ 中具有周期性边界条件的各向同性均匀湍流 Kolmogorov 两方程模型全局时间弱解的存在性。通过引入正则化的 r-Laplacian 近似并利用伪单调算子理论，作者获得了与区域大小无关的先验估计，确保对抛物结构的统一控制，并证明了解在长时间范围内的存在性，且满足物理解释一致的标度律。

ABSTRACT

This paper is concerned with Kolmogorov's two-equation model for the free turbulence in three dimensions. We first discuss scaling laws for slightly more general two-equation models to highlight the special role of the model devised by Kolmogorov in 1942. The main part of the paper consists in proving the existence of weak solutions of Kolmogorov's under space-periodic boundary conditions in a cube. To this end, we provide new a priori estimates and invoke existence result for pseudo-monotone operators.

研究动机与目标

• 建立 Kolmogorov 的各向同性均匀湍流两方程模型在全局时间范围内弱解的存在性。
• 在立方体中分析具有空间周期性边界条件的系统，以模拟远离边界的自由湍流。
• 推导 ω（上下界）和 k（下界）的逐点先验估计，且这些估计与盒子尺寸 a 无关。
• 通过与尺寸无关的估计，确保扩散算子中抛物性控制的统一性。
• 通过相似性变换，验证模型在自由湍流背景下的标度律。

提出的方法

• 通过在 u、ω 和 k 的方程中添加正则化的 r-Laplacian 项来近似原始系统。
• 将演化方程的伪单调算子存在性理论应用于正则化系统。
• 推导出与区域大小 a 无关的 ω 和 k 的逐点先验估计，确保统一控制。
• 利用紧嵌入 W¹,r(Ω) ⋐ C⁰(Ω)（当 r > 3 时）建立逼近序列的强收敛性。
• 通过分部积分和一致收敛性论证处理非线性对流项与扩散项。
• 通过在所有分量上对对偶积的下极限估计，验证算子 A 的伪单调性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 R³ 中具有周期性边界条件时，Kolmogorov 的两方程湍流模型是否存在全局时间弱解？
• RQ2 能否推导出与区域尺寸 a 无关的 ω 和 k 的先验估计，以确保抛物性的一致控制？
• RQ3 该模型的标度性质如何与自由湍流及相似性变换相关联？
• RQ4 能量平衡与耗散损失能否在弱解框架中一致地表示？
• RQ5 r-Laplacian 正则化在确保解的收敛性与存在性方面起到什么作用？

主要发现

• 在 R³ 中具有周期性边界条件的 Kolmogorov 两方程湍流模型存在全局时间弱解。
• ω（上下界）和 k（下界）的逐点先验估计已独立于盒子尺寸 a 推导得出，确保了跨尺度的鲁棒性。
• 带有 r-Laplacian 项的正则化系统使得伪单调算子理论得以应用，从而证明了解的存在性。
• 通过非线性项的统一收敛性与下极限估计，建立了逼近序列 Um → U 在能量空间 V 中的强收敛性。
• 对于足够光滑的解，能量平衡关系 d/dt ∫(½|u|² + k) dx = ∫(f·u − α₂ωk) dx 成立，与 Kolmogorov 的耗散建模一致。
• 该方法确保了扩散算子抛物结构的统一控制，从而实现了长时间解的存在性。