[论文解读] On the existence of Hamiltonians for non-holonomic systems

C. Cronström, Tommi Raita|ArXiv.org|Nov 26, 2007

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文表明，尽管具有单个线性非完整约束的三维非完整系统在其原始形式下不承认变分公式或哈密顿量，但可被约化为一个等价的二维自治系统，该系统既承认变分公式也承认正则哈密顿描述。为该约化系统显式构造了两个不同的拉格朗日量及其对应的哈密顿量，表明在特定条件下，非完整系统仍可由哈密顿动力学描述。

ABSTRACT

We consider the question of existence of Hamiltonians for autonomous non-holonomic mechanical systems in this paper. The approach is elementary in the sense that the existence of a Hamiltonian for a given non-holonomic system is considered to be equivalent to the existence of a non-degenerate Lagrangian for the system in question. The possible existence of such a Lagrangian is related to the inverse problem of constructing a Lagrangian from the appropriate equations of motion. A simple example in three dimensions with one non-holonomic constraint is analysed in detail, and it is shown that in this case there is no Lagrangian reproducing the equations of motion in three dimensions. Thus the system does not admit a variational formulation in three dimensions. However, the system in question is equivalent to a two-dimensional system which admits a variational formulation. Two distinct Lagrangians and their corresponding Hamiltonians are constructed explicitly for this two-dimensional system

研究动机与目标

• 研究自治非完整力学系统是否尽管在变分原理方面存在众所周知的困难，仍能承认哈密顿形式化。
• 通过分析拉格朗日构造的逆问题，确定原始配置空间中拉格朗日量的缺失是否意味着哈密顿量的缺失。
• 证明具有一个约束的三维非完整系统可被约化为一个承认变分和哈密顿形式化的二维系统。
• 为约化后的二维系统显式构造两个不同的拉格朗日量及其对应的哈密顿量，以表明形式化的非唯一性。

提出的方法

• 通过正则动量定义 $ p^j = \partial L / \partial \dot{q}_j $，证明哈密顿量的存在性等价于非退化拉格朗日量的存在性。
• 将拉格朗日构造的逆问题应用于一个具有一个线性速度约束的特定三维非完整系统。
• 通过利用约束消去一个自由度，证明原始三维系统可被约化为一个二维自治系统，从而实现变分公式化。
• 为二维系统推导出两个不同的拉格朗日量 $ L_I $ 和 $ L_{II} $，每个均导致不同的哈密顿形式化。
• 从拉格朗日量计算正则动量，并通过勒让德变换推导出相应的哈密顿量 $ H_I $ 和 $ H_{II} $。
• 验证由两个哈密顿量导出的哈密顿方程能重现二维系统的原始运动方程，从而确认一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个在其原始配置空间中缺乏变分公式的非完整系统，是否仍能承认哈密顿形式化？
• RQ2 非完整系统哈密顿量的存在性是否等价于同一系统非退化拉格朗日量的存在性？
• RQ3 一个具有一个线性非完整约束的三维非完整系统是否可被约化为一个承认变分和哈密顿形式化的低维系统？
• RQ4 同一约化非完整系统是否存在多个不同的拉格朗日量和哈密顿量形式化？

主要发现

• 具有一个线性速度约束的原始三维非完整系统不承认变分公式，因为不存在任何拉格朗日量能再现其在三维空间中的运动方程。
• 该系统可被约化为一个二维自治系统，该系统承认变分公式，这一点由存在两个不同的拉格朗日量 $ L_I $ 和 $ L_{II} $ 得以证明。
• 拉格朗日量 $ L_I $ 导出哈密顿量 $ H_I = \frac{1}{m}p_y p_z + \frac{uz}{\sqrt{\ell^2 + z^2}} p_y \log\left(\frac{p_y}{mc_0}\right) $，该哈密顿量能重现运动方程。
• 拉格朗日量 $ L_{II} $ 导出哈密顿量 $ H_{II} = \sqrt{\frac{2c_0 p_y}{m}} p_z + \frac{2uz}{\sqrt{\ell^2 + z^2}} p_y $，该哈密顿量也能重现运动方程。
• 从两个哈密顿量导出的正则方程能重现二维系统的运动方程，从而确认两种形式化的有效性。
• 同一物理系统存在两种不同的哈密顿形式化，表明非完整系统哈密顿表示的非唯一性。