[论文解读] On the extinction profile of solutions to fast-diffusion

Panagiota Daskalopoulos, Nataša Šešum|ArXiv.org|Sep 19, 2006

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文研究了在 $\mathbb{R}^N$ 上快扩散方程 $u_t = \Delta u^m$ 在 $m \in (0, \frac{N-2}{N})$ 情况下解的熄灭轮廓。当初始数据介于两个 Barenblatt 解之间时，证明了在熄灭时间 $T$ 接近时，经缩放后的解一致收敛且在 $L^1$ 范数下收敛于一个 Barenblatt 轮廓。关键结果表明，当初始数据被两个此类轮廓所夹住时，解的消失行为由 Barenblatt 解所主导。

ABSTRACT

We study the extinction behavior of solutions to the fast diffusion equation $u_t = Δu^m$ on $\R^N imes (0,T)$, in the range of exponents $m \in (0, \frac{N-2}{N})$, $N > 2$. We show that if the initial data $u_0$ is trapped in between two Barenblatt solutions vanishing at time $T$, then the vanishing behaviour of $u$ at $T$ is given by a Barenblatt solution. We also give an example showing that for such a behavior the bound from above by a Barenblatt solution $B$ (vanishing at $T$) is crucial: we construct a class of solutions $u$ with initial data $u_0 = B (1 + o(1))$, near $ |x| >> 1$, which live longer than $B$ and change behaviour at $T$. The behavior of such solutions is governed by $B(\cdot,t)$ up to $T$, while for $t >T$ the solutions become integrable and exhibit a different vanishing profile. For the Yamabe flow ($m = \frac{N-2}{N+2}$) the above means that these solutions $u$ develop a singularity at time $T$, when the Barenblatt solution disappears, and at $t >T$ they immediately smoothen up and exhibit the vanishing profile of a sphere. In the appendix we show how to remove the assumption on the bound on $u_0$ from below by a Barenblatt.

研究动机与目标

• 理解快扩散方程在熄灭时间 $T$ 附近的解的渐近行为。
• 确定在何种条件下熄灭轮廓由 Barenblatt 解所主导。
• 研究初始数据需由 Barenblatt 轮廓提供上下界以实现轮廓收敛的必要性。
• 分析 Yamabe 流情形（$m = \frac{N-2}{N+2}$）及其对奇点形成与光滑化的影响。
• 通过附录构造方法去除对下界 Barenblatt 解的假设，证明其对轮廓收敛的必要性。

提出的方法

• 通过缩放 $\tilde{u}(x,\tau) = (T-t)^{-\beta} u(x(T-t)^\gamma, t)$ 与 $\tau = -\log(T-t)$ 将问题转化为时间不变方程。
• 应用最大值原理，当初始数据介于两个 Barenblatt 解之间时，建立 $B_{k_1}(x,t) \leq u(x,t) \leq B_{k_2}(x,t)$。
• 利用 Aronson-Benilan 不等式，以 $B^m(x,t)$ 和 $L^1$-扰动表示 $u^m(x,t)$ 的逐点界。
• 通过径向上下包络 $\underline{u}_0(r)$, $\overline{u}_0(r)$ 的比较原理，将径向结果推广至非径向初始数据。
• 建立 $\tilde{u}(x,\tau)$ 关于 $(r^2 + 1)^{-1/(1-m)}$ 的一致有界性，从而导出其收敛于 Barenblatt 轮廓。
• 通过线性化方程分析 $\tilde{u} - \tilde{B}$ 的差异，其中系数 $\tilde{a}(x,\tau)$ 满足 $\tilde{C}_1(r^2+1) \leq \tilde{a} \leq \tilde{C}_2(r^2+1)$，从而实现收敛性证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，快扩散方程解的熄灭轮廓收敛于 Barenblatt 解？
• RQ2 初始数据由 Barenblatt 解所上界是否对轮廓收敛是必要的？
• RQ3 当初始数据渐近接近 Barenblatt 轮廓但不被其上界控制时，解的行为如何变化？
• RQ4 对于熄灭时间 $T$ 超过边界 Barenblatt 解的熄灭时间的解，其行为如何？
• RQ5 能否去除对初始数据下界为 Barenblatt 解的假设？若可，其条件为何？

主要发现

• 对于 $\frac{N-4}{N-2} < m < \frac{N-2}{N}$，若初始数据 $u_0$ 被两个 Barenblatt 解所夹，经缩放后的解 $\tilde{u}$ 一致收敛且在 $L^1$ 范数下收敛于一个 Barenblatt 轮廓 $\tilde{B}_{k_0}$，其中 $k_0$ 由质量守恒唯一确定：$\int u_0 \, dx = \int B_{k_0} \, dx$。
• 对于 $0 < m \leq \frac{N-4}{N-2}$，若 $u_0 = B_{k_0} + f$ 且 $f \in L^1$，则 $\tilde{u}$ 一致收敛于 $\tilde{B}_{k_0}$，表明轮廓由 $L^1$-扰动决定。
• 构造了一个例子：$u_0 = B(1 + o(1))$ 在无穷远处成立，但 $u$ 的寿命长于 $B$；当 $t > T$ 时，$u$ 变为可积，并表现出不同的消失轮廓。
• 对于 Yamabe 流（$m = \frac{N-2}{N+2}$），在 $T$ 处消失且寿命超过 $T$ 的解会立即变得光滑，并表现出球面对称的消失轮廓。
• 当 $|x| \to \infty$ 时，$u_0(x) \sim \left(\frac{C^* T}{|x|^2}\right)^{1/(1-m)}$ 的增长条件是收敛结果成立的必要条件；否则，轮廓可能不是 Barenblatt 型。
• 附录表明，可通过构造 $u_0 = B_{k_0} + f$（$f \in L^1$）的解，去除对下界 Barenblatt 解的假设，并证明其收敛于 $\tilde{B}_{k_0}$。