[论文解读] On the Extremal Zagreb Indices of $\mathbf{ extit{n}}$-Vertex Chemical Trees with Fixed Number of Segments or Branching Vertices

Sadia Noureen, Akbar Ali+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2019

Computational Drug Discovery Methods参考文献 15被引用 5

一句话总结

该论文表征了在固定段数（$k$）或分支顶点数（$b$）条件下，使第一和第二Zagreb指数最大的$n$-顶点化学树。通过结构图论与度序列分析，该文通过优化顶点度分布和边加权和，识别出极值树，证明最大Zagreb指数由取决于$k$或$b$的特定树结构实现，并为每种情况推导出$M_1$和$M_2$的闭式表达式。

ABSTRACT

Let $\mathcal{CT}_{n,k}$ and $\mathcal{CT}^*_{n,b}$ be the classes of all $n$-vertex chemical trees with $k$ segments and $b$ branching vertices, respectively, where $3\le k\le n-1$ and $1\le b< \frac{n}{2}-1$. The solution of the problem of finding trees from the class $\mathcal{CT}_{n,k}$ or $\mathcal{CT}^*_{n,b}$, with the minimum first Zagreb index or minimum second Zagreb index follows directly from the main results of [MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 72 (2014) 825-834] or [MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 74 (2015) 57-79]. In this paper, the chemical trees with the maximum first/second Zagreb index are characterized from each of the aforementioned graph classes.

研究动机与目标

• 确定属于$\mathcal{CT}_{n,k}$和$\mathcal{CT}^{*}_{n,b}$的化学树中，使第一和第二Zagreb指数最大的树。
• 解决图论中的极值问题：在段数（$k$）或分支顶点数（$b$）受限条件下，识别使$M_1$和$M_2$最大的树。
• 为每类中的极值树提供显式的度序列表征与结构特性。
• 根据$n$、$k$和$b$，推导出$M_1$和$M_2$最大值的闭式表达式。

提出的方法

• 分析在$ k $（段数）或$ b $（分支顶点数）受限条件下，$n$-顶点化学树的度序列。
• 利用引理建立顶点度的必要条件，例如根据$ k \mod 3 $，有$ n_3=0 $或$ n_3=1 $。
• 应用结构约束：在某些$ b $值下，极值树中不含度为2的顶点；度为4的顶点的诱导子图构成一棵树。
• 通过$M_2(G) = \sum_{uv \in E(G)} d_u d_v$进行边加权和优化，并基于$ b $的区间进行分类讨论。
• 定义并分析边类型计数$ x_{i,j} $（连接度为$ i $与$ j $的顶点的边的数量），以计算$ M_2 $。
• 使用反证法（例如边交换）证明最优树的极值性与结构唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些具有$ k $个段的$n$-顶点化学树使第一和第二Zagreb指数最大？
• RQ2 哪些具有$ b $个分支顶点的$n$-顶点化学树使第一和第二Zagreb指数最大？
• RQ3 在$\mathcal{CT}_{n,k}$和$\mathcal{CT}^{*}_{n,b}$中，实现最大$M_1$和$M_2$的树具有怎样的结构与度序列特性？
• RQ4 最大$M_1$和$M_2$的值如何依赖于$n$、$k$和$b$？

主要发现

• 当$1 \leq b < \frac{n-2}{3}$时，最大第二Zagreb指数$M_2(C^\prime T^{2}_{\text{max}})$为$4n + 16b - 12$，当$1 \leq b \leq \frac{n-4}{5}$时成立。
• 当$\frac{n-4}{5} < b < \frac{n-2}{3}$时，最大$M_2(C^\prime T^{2}_{\text{max}})$为$6n + 6b - 20$。
• 当$\frac{n-2}{3} \leq b < \frac{3n-4}{7}$时，最大$M_2(C^\prime T^{2}_{\text{max}})$为$10n - 6b - 28$。
• 当$\frac{3n-4}{7} \leq b < \frac{n}{2} - 1$时，最大$M_2(C^\prime T^{2}_{\text{max}})$为$16n - 20b - 36$。
• 极值树$C^\prime T^{2}_{\text{max}}$的度为4的顶点诱导子图是一棵树，且每个度为3的顶点至多有一个度为4的邻居。
• 极值树由其度序列和边类型分布唯一表征，其中$ x_{i,j} $计数被用于精确计算$ M_2 $。