[论文解读] On the false discovery proportion convergence under Gaussian equi-correlation

Sylvain Delattre, Étienne Roquain|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 9被引用 10

一句话总结

本文研究在高斯同相关模型下，当相关系数 ρₘ 随 m → ∞ 而趋于 0 时，Benjamini-Hochberg (BH) 过程中假发现比例（FDP）的收敛速率。结果表明，FDP 以速率 {min(m, 1/ρₘ)}^{1/2} 收敛至假发现率（FDR），且当 mρₘ → ∞ 时收敛更慢，凸显弱依赖性可显著减缓 FDP 在 FDR 附近的集中程度。

ABSTRACT

We study the convergence of the false discovery proportion (FDP) of the Benjamini-Hochberg procedure in the Gaussian equi-correlated model, when the correlation $\ ho_m$ converges to zero as the hypothesis number $m$ grows to infinity. By contrast with the standard convergence rate $m^{1/2}$ holding under independence, this study shows that the FDP converges to the false discovery rate (FDR) at rate $\\{\\min(m,1/\ ho_m)\\}^{1/2}$ in this equi-correlated model.

研究动机与目标

• 理解在高斯同相关下，Benjamini-Hochberg (BH) 过程的假发现比例（FDP）向假发现率（FDR）收敛的机制。
• 当检验统计量之间的相关系数 ρₘ 随检验数量 m 增加而趋于 0 时，确定 FDP 的渐近收敛速率。
• 研究在弱依赖条件下（特别是当 ρₘ = O(1/m) 或 mρₘ → ∞ 时），FDP 是否仍能良好地集中在 FDR 附近。
• 将同相关情况下的收敛行为与标准 i.i.d. 情况进行比较，后者收敛速率为 √m。
• 评估当相关性较弱但非零时，对多重检验程序的实际影响。

提出的方法

• 将检验统计量建模为 Xᵢ = τᵢ + Yᵢ，其中 (Y₁,…,Yₘ) 为均值为 0、方差为 1、同相关的高斯向量，相关系数为 ρₘ。
• 将 p 值定义为 pᵢ = Φ(Xᵢ)，其中 Φ 为标准正态分布的上尾函数，并假设原假设中真正无效应的比例 π₀ 固定。
• 应用函数型 Delta 方法与 Donsker 定理，研究在原假设与备择假设下 p 值经验过程的弱收敛性。
• 利用 Skorokhod 表示定理，建立对 FDP 进行适当中心化与标准化后，其弱收敛于正态分布的结论。
• 推导当 mρₘ → θ ∈ [−1, ∞) 时，√m(FDPₘ − π₀α) 的极限分布，以及当 mρₘ → ∞ 时，ρₘ^{−1/2}(FDPₘ − π₀α) 的极限分布。
• 考虑一种数据变换，使 p 值渐近独立，表明在已知参数条件下，FDP 可恢复至 √m 的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当检验统计量之间的相关系数 ρₘ 随 m 增加而趋于 0 时，FDP 向 FDR 的收敛速率如何变化？
• RQ2 在 ρₘ → 0 的同相关高斯模型下，BH 过程中 FDP 的极限分布为何？
• RQ3 当 mρₘ → ∞ 时，即使 ρₘ → 0，FDP 是否仍能良好地集中在 FDR 附近？
• RQ4 在已知 π₀、μ 和 ρ 的前提下，通过修改 p 值能否使同相关模型下的 FDP 收敛速率恢复至 √m？
• RQ5 在同相关模型中，FDP 的渐近方差如何依赖于 mρₘ 的极限值？

主要发现

• 当 ρₘ → 0 且 m → ∞ 时，BH 过程的 FDP 以速率 {min(m, 1/ρₘ)}^{1/2} 收敛至 FDR。
• 当 mρₘ → θ ∈ [−1, ∞) 时，收敛速率为 √m，与独立情况一致，且渐近方差依赖于 θ。
• 当 mρₘ → ∞ 且 ρₘ → 0 时，收敛速率减慢至 ρₘ^{−1/2}，显著慢于 √m。
• 当 θ > 0 时，FDP 的渐近方差更大；当 θ < 0 时更小；当 θ = 0 时，与独立情况相等。
• 当 mρₘ → ∞ 时，FDP 可能以任意缓慢的速度收敛至 FDR，表明在实践中可能存在不稳定性。
• 在已知模型参数下，通过变换检验统计量以诱导负的同相关性，可使 FDP 恢复至 √m 的收敛速率。