[论文解读] On the flat geometry of the cuspidal edge

Raúl Oset Sinha, Farid Tari|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过使用奇点理论分析其与平面和直线的接触，研究了 ℝ³ 中尖点棱线的平坦几何。它对高度函数和正交投影的奇点进行分类，推导出投影方向变化时可见轮廓的典型形变，并将其与法曲率、切曲率等几何不变量联系起来。

ABSTRACT

We study the geometry of the cuspidal edge $M$ in $\mathbb R^3$ derived from its contact with planes and lines (referred to as flat geometry). The contact of $M$ with planes is measured by the singularities of the height functions on $M$. We classify submersions on a model of $M$ by diffeomorphisms and recover the contact of $M$ with planes from that classification. The contact of $M$ with lines is measured by the singularities of orthogonal projections of $M$. We list the generic singularities of the projections and obtain the generic deformations of the apparent contour (profile) when the direction of projection varies locally in $S^2$. We also relate the singularities of the height functions and of the projections to some geometric invariants of the cuspidal edge.

研究动机与目标

• 通过其与平面和直线的接触（称为“平坦几何”）来理解尖点棱线的微分几何。
• 利用微分同胚不变量，对尖点棱线与平面接触所产生的奇点进行分类。
• 分析尖点棱线在平面上的正交投影的奇点，重点关注可见轮廓（轮廓）及其典型形变。
• 将高度函数和投影的奇点类型与法曲率、切曲率及尖点方向等内在几何不变量联系起来。
• 在模型尖点棱线上建立一个二维参数族的子mersions，使其成为典型奇点的 ${}_{X}\mathcal{A}_{e}$-通用展开。

提出的方法

• 使用标准模型尖点棱线 $ f(x,y) = (x, y^2, y^3) $ 作为在 $\mathcal{A}$-等价下的胚，以研究局部几何。
• 对保持尖点棱线模型的微分同胚群 $ \mathcal{R}(X) $ 下的 $ \mathbb{R}^3,0 \to \mathbb{R} $ 的子mersions 进行分类。
• 分析高度函数 $ H((x,y),\mathbf{v}) = \phi(x,y) \cdot \mathbf{v} $，以度量与方向 $ \mathbf{v} \in S^2 $ 垂直的平面的接触。
• 通过子mersions $ \mathbb{R}^3,0 \to \mathbb{R}^2,0 $ 研究正交投影 $ P_{\mathbf{v}} $，对其 $ {}_{X}\mathcal{A} $-奇点进行分类。
• 运用横截性定理，将可能的奇点限制为 $ {}_{X}\mathcal{A}_{e} $-余维数 ≤ 2 的类型，适用于典型尖点棱线。
• 在模型 $ X $ 上构造一个二维参数族的投影，证明其为典型奇点的 $ {}_{X}\mathcal{A}_{e} $-通用展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 在尖点棱线上，高度函数 $ H((x,y),\mathbf{v}) = \phi(x,y) \cdot \mathbf{v} $ 的典型奇点类型是什么？它们如何对与平面的接触进行分类？
• RQ2 尖点棱线在平面上的正交投影 $ P_{\mathbf{v}} $ 的奇点如何随方向 $ \mathbf{v} \in S^2 $ 变化？
• RQ3 当投影方向在 $ S^2 $ 中局部变化时，尖点棱线的可见轮廓（轮廓）的典型形变是什么？
• RQ4 高度函数和投影的奇点类型如何与法曲率 $ \kappa_n $、切曲率 $ \kappa_t $ 及尖点方向等几何不变量相关联？
• RQ5 在模型尖点棱线上，由投影产生的奇点的 $ {}_{X}\mathcal{A}_{e} $-通用展开的结构是什么？

主要发现

• 尖点棱线与平面的接触通过高度函数的奇点进行分类，共7种不同类型，依据法向方向 $ \mathbf{v} $ 相对于切锥和切方向的相对位置而定。
• 对于正交投影，$ P_{\mathbf{v}} $ 的奇点分为7类：第1类（核横截），第2–4类（核位于切锥内但不沿切方向），第5–7类（核平行于切方向）。
• 当 $ \kappa_n(p) \neq 0 $ 时，若 $ \tau_\Sigma(p) \neq 0 $，则 $ P_{\mathbf{v}} $ 的奇点为第5类（普通尖点）；若 $ \tau_\Sigma(p) = 0 $，则为第6类（镰刀形尖点）；若 $ \kappa_n(p) = 0 $，则为第7类。
• 当 $ \mathbf{v} $ 在 $ S^2 $ 中变化时，可见轮廓发生典型形变，二维参数族投影提供了奇点的通用展开。
• 奇点类型取决于奇异集 $ S_\alpha = 0 $ 与尖点棱线奇异集 $ \Sigma $ 之间的接触阶数，接触阶数为2或3时分别对应第3类或第4类。
• 当 $ \kappa_n(p) = 0 $ 且 $ \kappa_t(p) = 0 $ 时，奇点通常为第7类，除非方向 $ \mathbf{v} $ 与某一特定临界方向对齐，此时变为第4类。