[论文解读] On-the-fly algorithm for Dynamic Mode Decomposition using Incremental Singular Value Decomposition and Total Least Squares

Daiki Matsumoto, Thomas Indinger|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2017

Fluid Dynamics and Vibration Analysis参考文献 12被引用 13

一句话总结

本文提出了一种增量总动态模式分解（Incremental Total Dynamic Mode Decomposition, Incremental TDMD）算法，该算法采用增量奇异值分解（SVD）与总体最小二乘法，实现低内存消耗的实时DMD分析。该方法支持在不存储完整快照数据的前提下，通过稀疏性促进DMD（SPDMD）进行后处理，以识别主导流动结构，其结果与传统TDMD+SPDMD方法相当，同时显著降低了计算与存储需求。

ABSTRACT

Dynamic Mode Decomposition (DMD) is a useful tool to effectively extract the dominant dynamic flow structure from a unsteady flow field. However, DMD requires massive computational resources with respect to memory consumption and the usage of storage. In this paper, an alternative incremental algorithm of Total DMD (Incremental TDMD) is proposed which is based on Incremental Singular Value Decomposition (SVD). The advantage of Incremental TDMD compared to the existing on-the-fly algorithms of DMD is that Sparsity-Promoting DMD (SPDMD) can be performed after the incremental process without saving huge datasets on the disk space. SPDMD combined with Incremental TDMD enable the effective identification of dominant modes which are relevant to the results from conventional TDMD combined with SPDMD.

研究动机与目标

• 解决传统动态模式分解（DMD）在大规模计算流体动力学（CFD）模拟中对高内存与高存储需求的问题。
• 实现在CFD模拟过程中无需保存完整快照数据集，即可进行流式DMD计算。
• 开发一种与稀疏性促进DMD（SPDMD）兼容的增量算法，以高效识别主导流动结构。
• 在保持模态提取与振幅计算精度的同时，降低计算开销。
• 证明尽管采用增量处理方式，增量TDMD仍能获得与传统TDMD+SPDMD方法相当的DMD模态与振幅结果。

提出的方法

• 提出一种替代形式的总DMD（Alternative TDMD），仅依赖增广快照矩阵的奇异向量与奇异值，避免显式矩阵求逆。
• 集成增量SVD，随新流动快照的到达逐步更新SVD分解，实现流式处理。
• 采用总体最小二乘法提升对流动场数据中噪声的鲁棒性，改善模态质量。
• 在增量处理后应用稀疏性促进DMD（SPDMD），通过求解一个平衡近似误差与模态数量的凸优化问题，识别主导模态。
• 采用快照法高效计算SVD，避免显式存储大型左奇异向量。
• 基于首张快照采用改进的缩放方法计算DMD振幅，实现无需计算大矩阵伪逆的高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种流式DMD算法，在不存储完整快照数据的同时，保持与传统DMD相当的精度？
• RQ2 增量TDMD是否可在无需完整数据集存储的前提下，实现与SPDMD的后处理结合以识别主导模态？
• RQ3 增量TDMD获得的DMD模态与振幅精度与传统TDMD+SPDMD方法相比如何？
• RQ4 增量SVD对提取的DMD模态的空间分布与频率成分有何影响？
• RQ5 增量TDMD与替代TDMD之间振幅与模态结构的差异是否可由模态分裂现象解释？

主要发现

• 增量TDMD生成的DMD模态振幅与空间分布与传统TDMD结合SPDMD的结果高度相似，验证了其精度。
• 在增量TDMD处理后应用SPDMD，可成功识别出与传统方法频率内容高度匹配的主导模态。
• 尽管振幅分布存在微小差异，增量TDMD提取的主导模态在相似频率下与替代TDMD结果一致，表明其动态行为具有稳定性。
• 该方法实现了显著降低内存消耗的实时DMD分析，因完整快照数据无需存储于磁盘或加载至内存。
• 增量SVD过程实现了无需显式存储左奇异向量的DMD模态高效计算，降低了计算开销。
• 改进的振幅缩放方法避免了对大型DMD模态矩阵计算伪逆，提升了计算效率。