[论文解读] On the Fractional Derivatives of Radial Basis Functions

Maryam Mohammadi, Robert Schaback|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文推导了一维情况下五种径向基函数（RBFs）——幂函数、高斯函数、多二次函数、马特恩函数和薄板样条——的黎曼-刘维尔和卡波托分数阶积分与导数的解析公式。这些公式使得求解分数阶微分方程的高阶无网格数值方法成为可能，通过RBF配点法求解分数阶常微分方程以及基于RBF构造的拉格朗日基函数的时空谱方法求解分数阶偏微分方程，结果与已知基准解一致。

ABSTRACT

The paper provides the fractional integrals and derivatives of the Rie\-mann-Liouville and Caputo type for the five kinds of radial basis functions (RBFs), including the powers, Gaussian, multiquadric, Matern and thin-plate splines, in one dimension. It allows to use high order numerical methods for solving fractional differential equations. The results are tested by solving two fractional differential equations. The first one is a fractional ODE which is solved by the RBF collocation method and the second one is a fractional PDE which is solved by the method of lines based on the spatial trial spaces spanned by the Lagrange basis associated to the RBFs.

研究动机与目标

• 为使用无网格RBF方法求解分数阶微分方程提供高阶数值解法。
• 通过推导常见RBF的分数阶积分与导数的闭式表达式，将RBF方法拓展至分数阶微积分领域。
• 为将基于RBF的配点法与伽辽金法应用于分数阶PDE和ODE提供理论基础。
• 通过使用具有已知解析行为的RBF对基准分数阶微分方程进行验证。

提出的方法

• 利用积分变换与特殊函数，推导五种RBF的黎曼-刘维尔和卡波托分数阶导数（阶数为α）的表达式。
• 通过Riemann-Liouville定义，采用对RBF核函数重复积分与微分的方法实现。
• 采用Caputo定义，对RBF的m阶导数进行积分，其中m = ⌈α⌉。
• 利用左、右Riemann-Liouville导数构造PDE中空间算子的Riesz分数阶导数。
• 通过RBF插值矩阵的逆运算，从RBF构造拉格朗日基函数，以施加边界条件。
• 通过RBF配点法求解分数阶ODE，通过时空谱法求解分数阶PDE，其中时间方向的积分由空间RBF离散化生成的ODE系统完成。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为标准RBF推导出用于高阶无网格求解器的分数阶导数的解析表达式？
• RQ2 如何将基于RBF的配点法适配于求解具有非局部算子的分数阶ODE？
• RQ3 基于RBF生成的拉格朗日基函数的时空谱法能否有效求解具有Riesz空间导数的分数阶PDE？
• RQ4 当使用推导出的分数阶RBF公式求解分数阶微分方程时，RBF方法的精度与收敛特性如何？

主要发现

• 在一维情况下，推导出幂函数、高斯函数、多二次函数、马特恩函数和薄板样条RBF的黎曼-刘维尔与卡波托分数阶导数的解析表达式。
• RBF的分数阶导数以合流超几何函数与伽马函数表示，可在配点框架中实现精确计算。
• RBF配点法成功求解了右端项分别为f(t) = 1、f(t) = t e^{-t}和f(t) = e^{-t} sin(0.2t)的分数阶ODE，结果与文献一致。
• 基于RBF构造的拉格朗日基函数的时空谱法准确求解了Riesz型分数阶PDE（α = 1.8和α = 1.5），重现了已知解（当u₀(x) = x²(π−x)和u₀(x) = sin(4x)时）。
• 使用c=1的高斯RBF与β=1、c=1的多二次RBF得到等效结果，表明该方法在不同RBF类型下具有鲁棒性。
• 该方法在无需生成网格的情况下实现了分数阶微分方程的高阶精度求解，充分利用了RBF的无网格特性与分数阶算子的非局部性。