[论文解读] On the geometric side of the Arthur trace formula for the symplectic group of rank 2

Werner Hoffmann, Satoshi Wakatsuki|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用 9

一句话总结

本论文计算了在数域上对称群 Sp(2) 及其相似群 GSp(2) 的阿瑟迹公式几何侧的单幂轨道积分的系数。通过使用 zeta 积分和稳定迹公式技术，将这些系数表示为黎曼ζ函数、赫克L函数以及二元二次型的 Shinatani zeta 函数的形式，为稳定迹公式中单幂项的处理提供了关键步骤。

ABSTRACT

We study the non-semisimple terms in the geometric side of the Arthur trace formula for the split symplectic similitude group or the split symplectic group of rank 2 over any algebraic number field. In particular, we show that the coefficients of unipotent orbital integrals are expressed by the Dedekind zeta function, Hecke L-functions, and the Shintani zeta function for the space of binary quadratic forms.

研究动机与目标

• 确定数域上 GSp(2) 和 Sp(2) 的阿瑟迹公式几何侧中非半单（单幂）项的系数。
• 利用 zeta 函数，特别是二元二次型的 Shinatani zeta 函数，表达这些系数，从而将已知的 GL(2) 和 GL(3) 结果推广至更高秩。
• 通过 zeta 积分方法，为奇异加权轨道积分中的权因子提供几何解释。
• 通过将 Sp(2) 与 GSp(2) 之间系数差异与内播数据关联，为迹公式中单幂项的稳定化做出贡献。
• 为将迹公式推广至 L¹-Sobolev 测试函数奠定基础，并将 Godement 的维数公式作为特例恢复。

提出的方法

• 使用 zeta 积分方法替代阿瑟的不变性论证，实现对系数的统一处理，且不依赖于有限个数的素点集合 S。
• 应用加权轨道积分与截断理论，计算子正则与最小单幂轨道的贡献。
• 将二元二次型空间的 Shinatani zeta 函数作为表达子正则单幂类系数的关键组成部分。
• 依赖 GSp(2) 和 Sp(2) 的结构，包括其 Levi 子群与共轭类，以分解几何侧。
• 利用 Sp(2) 的迹公式与其内播群之间的关系，解释单幂系数差异的含义。
• 应用 [Sa1] 和 [Sa2] 的结果，将 Shinatani zeta 函数的特殊值表达为黎曼ζ函数与赫克L函数的乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用 zeta 函数表达 GSp(2) 和 Sp(2) 的单幂轨道积分系数？
• RQ2 二元二次型的 Shinatani zeta 函数在秩为 2 的辛群迹公式的几何侧中起什么作用？
• RQ3 Sp(2) 与 GSp(2) 的系数有何不同？这对内播稳定化意味着什么？
• RQ4 奇异加权轨道积分中的权因子能否通过 zeta 积分而非不变性论证来解释？
• RQ5 在何种程度上可利用此 zeta 积分方法将迹公式推广至 L¹-Sobolev 测试函数？

主要发现

• 单幂元素 z·u(0,1,0) 的系数为 vol(M') 乘以 S-黎曼ζ函数在 s=2 处的对数导数，再除以 s=2 处的 zeta 函数值。
• z·u(1,0,α) 的系数涉及对 S 外非分歧的三次特征标 χ 的求和，包含 c_F(S,χ) 与 c_F(S,χ⁻¹) 项，表达为 zeta 积分的组合形式。
• Sp(2) 与 GSp(2) 的单幂系数之差被证明对应于 Sp(2) 的椭圆内播群的稳定单幂轨道积分。
• 二元二次型的 Shinatani zeta 函数作为子正则单幂轨道系数的关键组成部分出现，将其与赫克L函数和黎曼ζ函数的特殊值联系起来。
• Shinatani zeta 函数的公式被推广至包含非平凡二次特征标的情形，得到由黎曼ζ函数与赫克L函数特殊值构成的乘积表达式。
• 结果为 Sp(2) 迹公式中的单幂项提供了稳定化，与 Assem 关于单幂轨道积分的局部结果一致。