[论文解读] On the geometry of (1,2)-polarized Kummer surfaces

Adrian Clingher, Andreas Malmendier|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 5

一句话总结

该论文证明了（1,2）极化 Kummer 曲面——与 ℂ 上的（1,2）极化阿贝尔曲面相关——可实现为 ℙ² 上的双覆盖，其分支位于六条直线上，其中三条直线共点于一点。关键贡献在于建立了此类 Kummer 曲面与双椭圆双曲型三亏格曲线的对称平方关于双椭圆对合的商曲面之间的双有理等价，从而通过二亏格模形式得到加权射影空间中的标准型。

ABSTRACT

We discuss several geometric features of a Kummer surface associated with a (1,2)-polarized abelian surface defined over the field of complex numbers. In particular, we show that any such Kummer surface can be modeled as the double cover of the projective plane branched along six lines, three of which meet a common point. The proof uses certain explicit pencils of plane quartic bielliptic genus-three curves whose associated Prym varieties are naturally (1,2)-polarized abelian surfaces.

研究动机与目标

• 将 Kummer 曲面的经典几何描述从主极化情形推广至（1,2）极化情形。
• 通过具有双椭圆与双曲结构的三亏格曲线的对称平方，提供（1,2）极化 Kummer 曲面的双有理模型。
• 构造一个平面四次双椭圆三亏格曲线的显式线性系，其对应的 P麽变体为（1,2）极化阿贝尔曲面。
• 利用基变换与纤维上同构，描述由其雅可比曲面之间的（2,2）同源所诱导的 Kummer 曲面之间的有理映射。
• 建立类似于主极化情形已知结果的（1,2）极化 Kummer 曲面的 Kummer 夹心定理。

提出的方法

• 利用如下事实：既是双曲型又是双椭圆型的三亏格曲线是其二亏格曲线的双覆盖，将此提升为从（1,2）极化 Kummer 曲面到主极化 Kummer 曲面的度二有理映射。
• 构造一个显式平面四次双椭圆三亏格曲线的线性系，其关联的 P麽变体自然同构于（1,2）极化阿贝尔曲面。
• 应用主极化阿贝尔曲面之间（2,2）同源的理论，利用 2-挠点上的极大 isotropic 子群来定义 Kummer 曲面之间的有理映射。
• 将 Kummer 曲面之间的有理映射分解为两个有理双覆盖的复合，分别对应于基变换与雅可比椭圆纤维化下的纤维上 2-同源。
• 识别出 2-挠点平移的下降为射影自同构，从而在 Kummer 曲面上实现 Van Geemen-Sarti 与 Nikulin 对合。
• 利用（2,2）同源映射分解为有理双覆盖序列，证明中间（1,2）极化 Kummer 曲面与其（2,2）同源对应物之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 （1,2）极化 Kummer 曲面能否被描述为 ℙ² 上的双覆盖，分支于六条直线，其中三条共点？
• RQ2 是否存在一个（1,2）极化 Kummer 曲面的双有理模型，其形式为双椭圆双曲型三亏格曲线的对称平方关于双椭圆对合的商曲面？
• RQ3 是否存在一个平面四次双椭圆三亏格曲线的显式线性系，其 P麽变体为（1,2）极化阿贝尔曲面？
• RQ4 主极化阿贝尔曲面之间的（2,2）同源如何诱导其对应 Kummer 曲面之间的有理映射？
• RQ5 （1,2）极化 Kummer 曲面之间的有理映射能否分解为基变换与纤维上同源？这些对合在分解中起什么作用？

主要发现

• （1,2）极化 Kummer 曲面双有理等价于双椭圆双曲型三亏格曲线的对称平方关于每个因子上双椭圆对合的商曲面。
• 导出了（1,2）极化 Kummer 曲面的标准型，其为加权射影三维空间中的四次曲面，系数以二亏格模形式与 theta 函数表示。
• 存在一个平面四次双椭圆三亏格曲线的线性系，其关联的 P麽变体自然同构于（1,2）极化阿贝尔曲面。
• 由（2,2）同源诱导的 Kummer 曲面之间的有理映射可分解为两个有理双覆盖的复合：一个通过基变换，另一个通过纤维上 2-同源，分别对应于不同的纤维化结构。
• 由 2-挠点 e₁₂ ∈ Jac(C)[2] 的平移所诱导的对合 ι^Y₁ 降低为 Kummer 曲面上的 Nikulin 对合，其他对合亦同理。
• Kummer 曲面 Kum(ℬ̂₁₂) 通过度为二的有理映射被夹在 Kum(Jac(C)) 与 Kum(Jac(Ĉ₁₂)) 之间，从而确立了（1,2）极化情形下的 Kummer 夹心定理。