[论文解读] On the geometry of tensor network states

J. M. Landsberg, Qi Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2011

Topological and Geometric Data Analysis被引用 5

一句话总结

本文通过证明含有环的图所关联的张量网络态（TNS）集合不是Zariski闭集，从而解决了量子信息理论中的一个疑问——即TNS序列的极限不一定是TNS。作者为树图和环图提供了TNS的几何描述，通过Mulmuley-Sohoni簇的边界将结果与几何复杂性理论联系起来，并表明临界性条件决定了TNS空间在极限下是否封闭。

ABSTRACT

We answer a question of L. Grasedyck that arose in quantum information theory, showing that the limit of tensors in a space of tensor network states need not be a tensor network state. We also give geometric descriptions of spaces of tensor networks states corresponding to trees and loops. Grasedyck's question has a surprising connection to the area of Geometric Complexity Theory, in that the result is equivalent to the statement that the boundary of the Mulmuley-Sohoni type variety associated to matrix multiplication is strictly larger than the projections and re-labelings of matrix multiplication. Tensor Network States are also related to graphical models in algebraic statistics.

研究动机与目标

• 解决Lars Grasedyck提出的问题：张量网络态集合在极限下是否为Zariski闭集。
• 为具有树状结构和环状结构的图的张量网络态空间提供几何刻画。
• 将张量网络态的闭包性质与几何复杂性理论中的问题联系起来，特别是Mulmuley-Sohoni簇的边界。
• 分析顶点维数的临界性条件（亚临界、临界、超临界）如何影响TNS空间的代数几何性质。
• 通过丛构造和顶点约化技术，将复杂的TNS构型简化为更简单的情形，特别是针对度数为一的亚临界顶点。

提出的方法

• 通过有向图Γ定义张量网络态（TNS），其中顶点为V_j，边为e_s，为每条边分配维数为e_s的辅助空间E_s。
• 将TNS(Γ, e, V)构造为作用于顶点空间与边空间张量积上的收缩映射的像，利用图的结构编码局部纠缠。
• 应用代数几何技术，包括Segre嵌入的切触簇和Grassmannian丛，描述TNS空间的几何结构。
• 对度数为一的亚临界顶点应用约化技术，表明此类顶点可通过与相邻顶点合并并调整维数被消除。
• 通过迭代约化至临界或线性情形，对树图的TNS空间进行刻画，最终将其表示为Grassmannian上丛的像。
• 建立含环图TNS非闭性与Mulmuley-Sohoni簇边界严格包含于矩阵乘法轨道闭包中的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于包含环的图Γ，其关联的张量网络态集合是否为Zariski闭集？
• RQ2 张量网络态空间的几何性质如何依赖于图的结构，特别是树和环结构？
• RQ3 张量网络态的闭包性质与几何复杂性理论中Mulmuley-Sohoni簇的边界之间有何关系？
• RQ4 能否系统性地约化张量网络图中度数为一的亚临界顶点而不改变TNS空间？
• RQ5 在顶点维数满足何种条件（临界、亚临界、超临界）下，TNS空间在Zariski拓扑中是闭集还是开集？

主要发现

• 含有环的图所关联的张量网络态集合不是Zariski闭集，从而以否定方式回答了Grasedyck的问题。
• 对于树图，张量网络态空间可通过迭代丛构造完全描述，且当所有顶点均为临界时，其在极限下是封闭的。
• 环图的TNS空间几何结构等价于与矩阵乘法相关的Mulmuley-Sohoni簇的边界，后者严格包含矩阵乘法及其重表述的投影。
• 度数为一的亚临界顶点可通过与相邻顶点合并被移除，从而在保持TNS空间不变的前提下简化图结构。
• 当所有顶点均为临界时，TNS空间微分同构于一个纤维化于基空间的Grassmannian乘积，其维数由涉及边维数和顶点维数的公式给出。
• 该结果表明，含环图的TNS空间的闭包包含无法表示为有限秩收缩的张量，揭示了量子态近似中的根本几何障碍。