[论文解读] On the geometry of the automorphism groups of affine varieties

Jean-Philippe Furter, Hanspeter Kraft|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 39被引用 26

一句话总结

本文全面綜述了 ind-代數簇與 ind-群，專注於仿射代數簇的自同構群及其作用。證明了任意仿射代數簇 X 的自同構群 Aut(X) 在所有自同態構成的 ind-半群 End(X) 中總是局部閉的，並基於 𝔸³ 上的非坦自同構，構造了一個新的例子：某個連通 ind-群的嚴格閉子群，其李代數與其所在群相同。

ABSTRACT

This article is a survey on ind-varieties and ind-groups introduced by Shafarevich in 1965, with a special emphasis on automorphism groups of affine varieties and actions of ind-groups on ind-varieties. We give precise definitions and complete proofs, including several known results. The survey contains many examples and also some questions which came up during our work on the subject. Among the new results we show that for an affine variety X the automorphism group Aut(X) is always locally closed in the ind-semigroup End(X) of all endomorphisms, and we give an example of a strict closed subgroup of a connected ind-group which has the same Lie algebra, based on the work of Shestakov-Umirbaev on the existence of non-tame automorphisms of affine 3-space.

研究动机与目标

• 系統地發展沙法列維奇提出的 ind-代數簇與 ind-群理論，專注於仿射代數簇的自同構群。
• 澄清 Aut(X) 作為 ind-群的幾何與代數結構，及其嵌入 ind-半群 End(X) 的方式。
• 研究 ind-群作用的行為、不動點與表示，特別是與幂零與半單元素的關係。
• 探討理論中的開放問題，包括 Aut(𝔸ⁿ) 的結構以及高維空間中非坦自同構的存在性。
• 提供完整且自包含的處理，包含證明、例子，以及關於局部閉子群與李代數對應關係的新結果。

提出的方法

• 利用 ind-代數簇與 ind-群的框架——代數簇與群的直接極限——定義在代數閉域 𝔸 上。
• 應用局部有限與局部幂零自同態理論，研究自同構及其在仿射代數簇上的作用。
• 使用指數映射與局部有限向量場的積分，分析幂零群作用及其形變。
• 利用伴隨表示與切空間構造，將李代數與群作用及自同構群關聯起來。
• 應用態射、閉浸入與基域擴張理論，研究自同態與自同構的族。
• 利用 Shestakov 與 Umirbaev 對 𝔸³ 上非坦自同構的研究成果，構造了一個與其所在 ind-群李代數相同的嚴格閉子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 仿射代數簇 X 的自同構群 Aut(X) 是否總是局部閉於所有自同態構成的 ind-半群 End(X) 中？
• RQ2 某個連通 ind-群的嚴格閉子群能否與其所在群具有相同的李代數？
• RQ3 自同構群 Aut(𝔸ⁿ) 的結構是什麼，特別是在 𝔸³ 的情況下，坦自同構與非坦自同構有何區別？
• RQ4 仿射代數簇上的幂零群作用與 𝔸¹-作用如何與自同構群的幾何相關？
• RQ5 仿射代數簇的自同構群在多大程度上可實現為 ind-群的閉子群？其表示理論有何含義？

主要发现

• 任意仿射代數簇 X 的自同構群 Aut(X) 在所有自同態構成的 ind-半群 End(X) 中總是局部閉的。
• 構造了一個新的例子：某個連通 ind-群的嚴格閉子群，其李代數與所在群相同，基於 𝔸³ 上的非坦自同構。
• 在適當條件下，給定仿射代數簇上群作用的 ind-代數簇被證明是良定義且有限維的。
• 本文證明了 Aut(𝔸²) 不是線性群，且不存在嵌入 GL∞ 的單射同態，從而解決了一個長期存在的問題。
• 對於 𝔸²，完成了 𝔸¹-作用的分類，並證明 Aut(𝔸²) 在 End(𝔸²) 中的閉包由特定的弱閉包條件所刻畫。
• Aut(𝔸ⁿ) 的李代數被識別為散度為零的向量場空間，其結構與次數公式及半單/幂零分解相關。