[论文解读] On the global Gross-Prased conjecture for Yoshida liftings

Siegfried Böcherer, Masaaki Furusawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文计算了来自一个正定四元数代数的 Yoshida 提升所得到的度数为 2 的 Siegel 模形式尖点形式，将其限制在两个上半平面的乘积上后，与两个椭圆尖点形式的乘积之间的 Petersson 内积。结果表明，该内积的平方等于一个与关联 L 函数的中心临界值成明确倍数关系的量，为特殊正交群的自守表示的全局 Gross-Prasad 猜想提供了证据。

ABSTRACT

We restrict a Siegel modular cusp form of degree 2 and square free level that is a Yoshida lifting (a lifting from the orthogonal group of a definite quaternion algebra) to the embedded product of two half planes and compute the Petersson product against the product of two elliptic cuspidal Hecke eigenforms. The square of this integral can be explicitly expressed in terms of the central critical value of an L-function attached to the situation. The result is related to a conjecture of Gross and Prasad about restrictions of automorphic representations of special orthogonal groups.

研究动机与目标

• 研究度数为 2 且导子为无平方因子的 Siegel 模形式尖点形式限制在两个复上半平面乘积上的算术意义。
• 计算该限制形式与两个椭圆尖点形式乘积之间的 Petersson 内积。
• 在 Gross-Prasad 猜想的背景下，将该内积的平方与某个 L 函数的中心临界值联系起来。
• 为特殊正交群的自守表示的限制提供支持性的证据。

提出的方法

• 将度数为 2 且导子为无平方因子的 Siegel 模形式尖点形式限制在两个复上半平面的乘积上。
• 计算该限制形式与两个椭圆尖点 Hecke 特征形式乘积之间的 Petersson 内积。
• 应用关于从正定四元数代数的正交群出发的 Yoshida 提升的已知结果，将该形式表示为提升形式。
• 利用 L 函数理论，将内积的平方与关联自守表示的 L 函数的中心临界值联系起来。
• 利用自守表示的结构及其对特殊正交群的限制，将其与 Gross-Prasad 猜想联系起来。
• 利用无平方因子导子和通过 Yoshida 提升构造的尖点形式，确保算术控制并实现显式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 当将 Yoshida 提升限制在两个上半平面的乘积上后，其与两个椭圆尖点形式乘积配对的 Petersson 内积行为如何？
• RQ2 该内积的平方能否用某个 L 函数的中心临界值来表达？
• RQ3 Siegel 模形式的限制与它所生成的自守表示之间存在何种精确的算术关系？
• RQ4 该计算如何支持或细化特殊正交群的全局 Gross-Prasad 猜想？
• RQ5 无平方因子导子和正定四元数代数在实现内积显式计算中起到何种作用？

主要发现

• 该限制 Siegel 模形式与两个椭圆尖点形式乘积之间的 Petersson 内积的平方，被显式表达为某个 L 函数中心临界值的倍数。
• 该 L 函数的中心临界值与来自 Yoshida 提升的自守表示的算术性质直接相关。
• 该结果在度数为 2 的 Siegel 模形式以及对 SO(n) 表示的限制背景下，为 Gross-Prasad 猜想提供了具体的实现。
• 该计算确认了正交群上的自守形式与其通过 Gross-Prasad 框架对更小群的限制之间存在精确的算术联系。
• 使用无平方因子导子和正定四元数代数确保了该形式为 Yoshida 提升，从而实现了内积的显式计算。
• 该方法得出了一个定量显式的公式，建立了内积非零的判别准则，其依据是中心 L 值的非零性。