[论文解读] On the Global Structure of Deformed Yang-Mills Theory and QCD(adj) on $\mathbb R^3 imes \mathbb S^1$

Mohamed M. Anber, Erich Poppitz|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 41被引用 13

一句话总结

本文通过分析在 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 上，从规范化 $SU(N_c)$ Yang-Mills 理论中的一 form 中心理对称性的 $\mathbb{Z}_k$ 子群，如何涌现出不同的 $SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$ 规范理论（其离散 $\theta$-角不同），系统研究了形变 Yang-Mills 理论与 QCD(adj) 在 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 上的全局结构。利用畴壁和束缚弦，本文提供了真空结构的物理图像，并揭示了中 心对称性在电和磁自由度上的作用，识别出不同的基态。一个关键结果是，在有限温紧化下的禁闭相变附近，出现了有效的 Kramers-Wannier 对偶性。

ABSTRACT

Spatial compactification on $\mathbb R^{3} imes \mathbb S^1_L$ at small $\mathbb S^1$-size $L$ often leads to a calculable vacuum structure, where various "topological molecules" are responsible for confinement and the realization of the center and discrete chiral symmetries. Within this semiclassically calculable framework, we study how distinct theories with the same $SU(N_c)/\mathbb Z_k$ gauge group (labeled by "discrete $θ$-angles") arise upon gauging of appropriate $\mathbb Z_k$ subgroups of the one-form global center symmetry of an $SU(N_c)$ gauge theory. We determine the possible $\mathbb Z_k$ actions on the local electric and magnetic effective degrees of freedom, find the ground states, and use domain walls and confining strings to give a physical picture of the vacuum structure of the different $SU(N_c)/\mathbb Z_k$ theories. Some of our results reproduce ones from earlier supersymmetric studies, but most are new and do not invoke supersymmetry. We also study a further finite-temperature compactification to $\mathbb R^{2} imes \mathbb S^1_β imes\mathbb S^1_L$. We argue that, in deformed Yang-Mills theory, the effective theory near the deconfinement temperature $β_c \gg L$ exhibits an emergent Kramers-Wannier duality and that it exchanges high- and low-temperature theories with different global structure, sharing features with both the Ising model and $S$-duality in ${\cal N}$$=$$4$ supersymmetric Yang-Mills theory.

研究动机与目标

• 系统分析在 $SU(N_c)$ Yang-Mills 理论中，通过规范化一形式中心对称性的 $\mathbb{Z}_k$ 子群，如何涌现出不同的 $SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$ 规范理论。
• 利用 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 上的畴壁和束缚弦，为这些理论中的真空结构提供物理解释。
• 确定有效理论中零形式中心对称性在局部电和磁自由度上的作用。
• 研究在向 $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^1_\beta \times \mathbb{S}^1_L$ 有限温紧化过程中全局结构的作用，并识别涌现的对偶性。
• 将非超对称理论中全局结构的理解拓展至超越先前超对称框架的范围。

提出的方法

• 通过分析 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 上畴壁与束缚弦的相互作用，刻画 $SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$ 理论中的真空结构。
• 通过坐标变换至新坐标 $\tilde{\boldsymbol{\sigma}}$，推导中心对称性在有效理论中对电和磁自由度的作用。
• 利用对偶向量 $\boldsymbol{\cal C}_i$ 对群晶格进行对角化，简化 $\mathbb{Z}_k$ 规范群的基本域。
• 通过分析真空在 $\mathbb{Z}_k$ 中心对称性下的变换性质，构造相互局部的规范不变算符。
• 研究 $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^1_\beta \times \mathbb{S}^1_L$ 中禁闭相变附近的有效理论，以识别涌现的 Kramers-Wannier 对偶性。
• 计算 $\tilde{\boldsymbol{\sigma}}$ 坐标中的势能极小值，并根据不同的 $k_a$ 值对真空进行分类，以识别不同的 $\mathbb{Z}_k$-扭结理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过规范化一形式中心对称性的 $\mathbb{Z}_k$ 子群，从具有相同 $su(N_c)$ 李代数的 $SU(N_c)$ 理论中涌现出不同的 $SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$ 规范理论？
• RQ2 畴壁和束缚弦在区分 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 上 $SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$ 理论的真空结构中起什么物理作用？
• RQ3 在 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 上的有效理论中，零形式中心对称性如何作用于局部电和磁自由度？
• RQ4 在 $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^1_\beta \times \mathbb{S}^1_L$ 中禁闭相变附近的有效理论具有何种性质？它是否表现出涌现的对偶性？
• RQ5 离散 $\theta$-角如何对具有相同规范群和李代数的理论进行标记？它们如何影响真空结构？

主要发现

• 对于 $SU(4)/\mathbb{Z}_2$，$\mathbb{Z}_2$ 中心对称性在真空中非平凡作用，当 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$ 时，将不同真空数从 16 个减少到 8 个，对应于 $[SU(4)/\mathbb{Z}_2]_0$ 理论。
• 当 $k_1 = 1, k_2 = k_3 = 0$ 时，中心对称性将真空成对标识——$1 \leftrightarrow 4$，$2 \leftrightarrow 6$，$3 \leftrightarrow 7$，$5 \leftrightarrow 8$——导致仅剩四个不同真空，对应于 $[SU(4)/\mathbb{Z}_2]_1$ 理论。
• $SU(4)/\mathbb{Z}_2$ 中 $\mathbb{Z}_2$ 群晶格的基本域在 $\tilde{\boldsymbol{\sigma}}$ 坐标中被修正为由单位向量界定的立方体，简化了极小值与对称性作用的分析。
• 变换矩阵 $TAT^{-1}$ 明确展示了中心对称性在 $\tilde{\boldsymbol{\sigma}}$ 坐标上的非平凡作用，其特征值为 $-1, 1, -1$，表明存在非平凡的平移与反射结构。
• 在向 $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^1_\beta \times \mathbb{S}^1_L$ 的有限温紧化中，禁闭相变附近的有效理论 $\beta_c \gg L$ 展现出一种涌现的 Kramers-Wannier 对偶性，该对偶性交换了高温与低温区域，且具有不同的全局结构。
• 该对偶性兼具二维伊辛模型与 $\mathcal{N}=4$ SYM 中的 $S$-对偶性特征，表明在具有全局结构的规范理论非微扰动力学中存在普遍结构。