[论文解读] On the growth rate of 1324-avoiding permutations

Andrew Conway, A J Guttmann|arXiv (Cornell University)|May 27, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文提出了一种改进的算法，计算了1324-避免排列的生成函数的五个额外项，提供了强有力的数值证据，表明其增长速率遵循非代数奇点形式 $ B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{\sqrt{n}} \cdot n^g $，其中 $ \mu \approx 11.60 \pm 0.01 $，$ \sigma = 1/2 $，$ \mu_1 \approx 0.0398 \pm 0.0010 $，$ g \approx -1.1 \pm 0.2 $，且 $ B \approx 9.5 \pm 1.0 $。该结果挑战了此类排列类具有代数生成函数的假设。

ABSTRACT

We give an improved algorithm for counting the number of $1324$-avoiding permutations, resulting in 5 further terms of the generating function. We analyse the known coefficients and find compelling evidence that unlike other classical length-4 pattern-avoiding permutations, the generating function in this case does not have an algebraic singularity. Rather, the number of 1324-avoiding permutations of length $n$ behaves as $$B\cdot μ^n \cdot μ_1^{n^σ} \cdot n^g.$$ We estimate $μ=11.60 \pm 0.01,$ $σ=1/2,$ $μ_1 = 0.0398 \pm 0.0010,$ $g = -1.1 \pm 0.2$ and $B =9.5 \pm 1.0.$

研究动机与目标

• 通过使用改进的算法计算五个额外的生成函数系数，扩展已知的1324-避免排列序列。
• 分析1324-避免排列的生成函数系数的渐近增长行为。
• 检验生成函数具有非代数奇点结构的假设，该结构与其它经典4模式避免排列的已知代数形式不同。
• 估计渐近形式 $ p_n \sim B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{n^\sigma} \cdot n^g $ 中的关键参数 $ \mu $、$ \sigma $、$ \mu_1 $、$ g $ 和 $ B $。

提出的方法

• 使用Johansson-Nakamura（JN）算法的增强版本，计算1324-避免排列生成函数的五个额外系数。
• 使用二阶和三阶微分逼近法（DAs）分析变换后的级数，以估计收敛半径和临界指数。
• 对变换后系数的比值应用Bulirsch-Stoer算法以外推增长常数 $ \mu $，参数 $ w = 1 $。
• 假设渐近形式 $ p_n \sim B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{\sqrt{n}} \cdot n^g $，其中 $ \sigma = 1/2 $，并通过外推 $ b_n / (\mu^n \cdot \mu_1^{\sqrt{n}} \cdot n^g) $ 对 $ 1/n $ 来估计振幅 $ B $。
• 结合微分逼近法和比值外推法的结果，以改进 $ \mu $、$ \mu_1 $、$ g $ 和 $ B $ 的估计值，置信区间基于收敛趋势推导。
• 研究依赖于系数序列的数值证据以及外推方法的收敛模式，假设 $ \sigma = 1/2 $ 作为工作假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 1324-避免排列的生成函数是否表现出与其它经典4模式避免排列中所见的代数奇点不同的非代数奇点结构？
• RQ2 长度为 $ n $ 的1324-避免排列数的精确渐近增长形式是什么？其是否包含形式为 $ \mu_1^{n^{1/2}} $ 的次主导项？
• RQ3 能否比以往的界限更准确地估计1324-避免排列的增长常数 $ \mu $，且其在多种数值方法中是否一致？
• RQ4 渐近表达式 $ p_n \sim B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{n^\sigma} \cdot n^g $ 中的关键参数 $ \mu $、$ \mu_1 $、$ \sigma $、$ g $ 和 $ B $ 的估计值是多少？
• RQ5 所观察到的渐近行为是否在不同外推技术（如微分逼近法和Bulirsch-Stoer外推）中均具有鲁棒性？

主要发现

• 改进的算法成功计算了1324-避免排列生成函数的五个额外系数，扩展了已知序列。
• 数值证据强烈支持非代数奇点结构，渐近形式为 $ p_n \sim B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{\sqrt{n}} \cdot n^g $，其中假设 $ \sigma = 1/2 $。
• 增长常数估计为 $ \mu = 11.60 \pm 0.01 $，基于微分逼近法和Bulirsch-Stoer外推的收敛性。
• 次主导项估计为 $ \mu_1 = 0.0398 \pm 0.0010 $，表明奇点结构中存在拉伸指数衰减。
• 临界指数估计为 $ g = -1.1 \pm 0.2 $，表明其具有非有理数、非简单幂律行为。
• 振幅估计为 $ B = 9.5 \pm 1.0 $，置信度来自对归一化系数相对于 $ 1/n $ 的外推。