[论文解读] On the H\\"{o}pf Boundary Lemma for quasilinear problems involving singular nonlinearities and applications

Francesco Esposito, Berardino Sciunzi|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用 24

一句话总结

本文为带奇异非线性项 $-\Delta_p u = u^{-\gamma} + f(u)$ 的拟线性椭圆方程在 $C^{2,\alpha}$ 域中建立了广义的 Höpf 边界引理。通过在边界附近引入一种新颖的尺度变换方法，作者在解在边界处不具有 $C^1$ 正则性的情况下，仍得到了法向导数 $\partial_\nu u > 0$ 的精确估计。关键贡献在于对半空间中解的分类结果，证明了解在边界附近的行为类似于 $M x_N^{p/(̳+p-1)}$，从而使得移动平面法可应用于对称性结果的证明。

ABSTRACT

In this paper we consider positive solutions to quasilinear elliptic problem with singular nonlinearities. We provide a H\\"{o}pf type boundary lemma via a suitable scaling argument that allows to deal with the lack of regularity of the solutions up to the boundary.

研究动机与目标

• 解决在拟线性椭圆问题中，当非线性项具有奇异性时，解在边界附近缺乏 $C^1$ 正则性的问题。
• 发展一种新型边界分析技术，绕过依赖于 $C^1$ 边界正则性的标准比较方法。
• 即使梯度在边界处趋于无穷，仍为正解在边界附近的法向导数建立精确估计。
• 在半空间中对解进行分类，刻画其在边界附近的精确渐近行为。
• 将新边界引理应用于移动平面法，证明在对称区域中解的对称性与单调性结果。

提出的方法

• 通过尺度变换将原问题在有界区域中的情形转化为半空间 $\mathbb{R}^N_+$ 中的极限问题。
• 分析极限问题 $-\Delta_p u = u^{-\gamma}$ 在 $\mathbb{R}^N_+$ 中的解，基于幂函数衰减假设进行分类。
• 在边界邻域中应用比较原理，使用形如 $u_1 = s_1 \phi_1^t$ 和 $u_2 = s_2 \phi_1^t$ 的上下解，其中 $\phi_1$ 为第一特征函数。
• 将解 $u$ 与缩放版本 $\beta u$ 进行比较，以在边界邻域 $I_\delta(\partial\Omega)$ 中推导出下界与上界。
• 利用弱比较原理（引理 3.1）严格比较不同缩放因子下的解，确保边界邻域内不等式成立。
• 结合新边界引理，将移动平面法应用于严格凸且对称的区域，证明解的对称性与单调性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当解在边界处不具有 $C^1$ 正则性时，能否为具有奇异非线性项的拟线性问题建立 Höpf 型边界引理？
• RQ2 在奇异 $p$-拉普拉斯情形下，解在边界附近的精确渐近行为是什么？
• RQ3 尽管缺乏边界正则性，移动平面法能否成功应用于奇异拟线性问题？
• RQ4 如何利用尺度变换将边界行为分析简化为半空间中的问题？
• RQ5 在存在奇异性的情况下，何种条件可保证解的法向导数在边界附近保持正值？

主要发现

• 证明了 Höpf 型边界引理：对任意 $\beta > 0$，存在一个边界邻域 $I_\delta(\partial\Omega)$，使得当法向方向 $\nu(x)$ 与内法向 $\eta(x)$ 的夹角至少为 $\beta$ 时，有 $\partial_\nu u > 0$。
• 在半空间 $\mathbb{R}^N_+$ 中，满足 $-\Delta_p u = u^{-\gamma}$ 且在 $\partial\mathbb{R}^N_+$ 上 $u=0$ 的解被分类为 $u(x) = M x_N^{p/(̳+p-1)}$，其中 $M = \left[\frac{(\gamma+p-1)^p}{p^{p-1}(p-1)(\gamma-1)}\right]^{1/(̳+p-1)}$。
• 在 $C^{2,\alpha}$ 有界区域 $\Omega$ 中，解 $u$ 满足在边界邻域内 $m_1 \text{dist}(x,\partial\Omega)^{p/(̳+p-1)} \leq u(x) \leq m_2 \text{dist}(x,\partial\Omega)^{p/(̳+p-1)}$，其中 $m_1, m_2 > 0$ 为显式常数。
• 移动平面法成功应用于证明：在严格凸且对称的区域中，正解关于对称超面对称，且在对称方向上严格递增。
• 当 $\Omega$ 为球形区域时，该结果可推广至径向对称性，表明解为径向对称且径向递减。
• 该证明方法通过使用尺度变换以及在半空间中与幂函数型上下解的比较，避免了对 $C^1$ 边界正则性的依赖。