[论文解读] On the Hurewicz homomorphism on the extensions of ideals in $\pi_*^s$ and spherical classes in $H_*Q_0S^0$

Hadi Zare|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文研究了稳定同伦范畴中 $Q_0S^0$ 的同调中的 Hurewicz同态与球面类，聚焦于 $\pi_*^s$ 中元素在 Hurewicz 映射下映射到 $H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2)$ 的像。研究结果表明，若 Adams 滤子度为 $k$ 且 Hurewicz 像非平凡的元素满足：当其在同调上移下映射 $e^*$ 的像非零时，有 $n \geq 2k - 1$；若其像为平方形式，则有 $n \geq 2k - 2t$，从而通过 Adams 滤子度与同调上移操作对球面类的可能维度施加了约束。

ABSTRACT

This is about Curtis conjecture on the image of the Hurewicz map $h:{_2\pi_*}Q_0S^0 o H_*(Q_0S^0;\Z/2)$. First, we show that if $f\in{_2\pi_*^s}$ is of Adams filtration at least $3$ with $h(f) eq 0$ then $f$ is not a decomposable element in ${_2\pi_*^s}$. Moreover, it is shown if $k$ is the least positive integer that $f$ is represented by a cycle in $\mathrm{Ext}^{k,k+n}_A(\Z/2,\Z/2)$, then (i) if $e_*h(f) eq 0$ then $n\geqslant 2^k-1$; (ii) if $e_*h(f)=0$ then $n\geqslant 2^k-2^t$ for some $t>1$. Second, for $S\subseteq{_2\pi_{*>0}^s}$ we show that: (i) if the conjecture holds on $S$, then it holds on $\la S a$; (ii) if $h(S)=0$ then $h$ acts trivially on any extension of $S$ obtained by applying homotopy operations arising from ${_2\pi_*}D_rS^n$ with $n>0$. We also provide partial results on the extensions of $\la S a$ by taking (possible) Toda brackets of its elements. We also discuss how the $EHP$-sequence information maybe applied to eliminate classes from being spherical.

研究动机与目标

• 研究 Adams 滤子度 $\geq 3$ 的元素在 Hurewicz 同态 $h: \pi_*^s \to H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2)$ 下的像。
• 基于 Adams 滤子度与同调上移 $e^*$ 的行为，确定 $\pi_n^s$ 中 Hurewicz 像非平凡的元素 $f$ 的度数 $n$ 所受的约束。
• 分析 $\pi_*^s$ 中乘积与 Toda 括号对 Hurewicz 映射的影响，特别是与 Curtis 猜想的关系。
• 探讨 EHP 序列与同伦运算如何用于排除 $H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2)$ 中潜在的球面类。

提出的方法

• 利用 Adams 族谱序列与 Steenrod 代数 $\mathcal{A}$ 的结构，分析代表 Adams 滤子度 $k$ 的元素 $\mathrm{Ext}^{k,k+n}_{\mathcal{A}}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2)$。
• 应用同调上移 $e^*: H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2) \to H_*(Q_0S^1; \mathbb{Z}/2)$ 以检测 Hurewicz 像的支撑。
• 采用 Snaith 分解与 Toda 括号的稳定伴随，研究 $\pi_*^s$ 中理想扩张的性质。
• 利用评估映射与 Steenrod 代数在 $H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2)$ 上的作用，分析球面类的结构。
• 应用 EHP 序列，通过 $\eta$- 与 $\nu$- 作用约束球面类可能的度数。
• 依赖 Kuhn 对 Hurewicz 映射的研究，以及同构 $H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2) \cong \mathbb{Z}/2[Q_I[1] \ast [-2l(I)]]$，分析 $\mathrm{Ext}^{k,k+n}_{\mathcal{A}}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2)$ 中循环的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 Adams 滤子度与同调上移对 Hurewicz 像非平凡的 $\pi_*^s$ 中元素的度数施加了何种约束？
• RQ2 在何种条件下，$H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2)$ 中的球面类可由 Adams 滤子度为 $k$ 的稳定同伦元素实现？
• RQ3 乘积与 Toda 括号在 $\pi_*^s$ 中如何影响 Hurewicz 像？这对 Curtis 猜想有何启示？
• RQ4 EHP 序列能否用于排除 $H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2)$ 中潜在的球面类？
• RQ5 不稳定 Hopf 指标与初等运算在检测球面类中起什么作用？

主要发现

• 若 $f \in \pi_n^s$ 的 Adams 滤子度 $k \geq 3$ 且 $h(f) \neq 0$，则 $f$ 在 $\pi_*^s$ 中不可分解。
• 若 $e^*h(f) \neq 0$，则对 Adams 滤子度为 $k$ 的 $f$，有 $n \geq 2k - 1$。
• 若 $e^*h(f) = 0$ 且 $h(f) = \xi^{2t}$ 满足 $e^*\xi \neq 0$，则 $n \geq 2k - 2t$。
• 在 $2\pi_*^s$ 中，乘积 $fg$ 的 Hurewicz 像非零，当且仅当 $f = g$ 且 $f$ 是 $\eta$、$\nu$ 或 $\sigma$ 的奇数倍，即为 Hopf 指标为一或 Kervaire 指标为一的元素。
• 若 Curtis 猜想在集合 $S \subset \pi_*^s > 0$ 上成立，则其在由 $S$ 生成的理想 $\langle S \rangle$ 上也成立。
• 若 $h(S) = 0$，则 $h$ 在任何通过 $2\pi_*^s D^n S^n$（$n > 0$）的同伦运算得到的 $S$ 的扩张上均平凡作用。