[论文解读] On the image of Euler's totient function

Rodney Coleman|ArXiv.org|Oct 12, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文研究欧拉函数 φ(n) 的像，证明了对所有 m，φ⁻¹(m) 是有限的，并给出了其元素的界限。研究发现，当 m > 1 为奇数时，或对无穷多个偶数 m，φ⁻¹(m) 为空集；当非空时，φ(n) = m 的奇数解与偶数解的数量可以相等，或全为偶数，且目前尚未发现任何 m 恰好有一个原像——这支持了卡米尔猜想。

ABSTRACT

In this article we study certain properties of the image of Euler's totient function; we also consider the structure of the preimage of certain elements of the image of this function.

研究动机与目标

• 分析任意正整数 m 的逆像 φ⁻¹(m) 的结构与基数。
• 确定方程 φ(n) = m 对哪些偶数 m 有解，以及在何种情况下无解。
• 研究 φ⁻¹(m) 中奇数解与偶数解的分布，特别是奇数与偶数原像之间的对称性。
• 考察当 φ⁻¹(m) 仅包含偶数时，或奇数与偶数解数量相等时的条件。
• 支持或挑战卡米尔猜想，即不存在 m 使得其在 φ 下恰好有一个原像。

提出的方法

• 利用 φ 的乘法性质及其公式 φ(n) = n ∏(1 − 1/p)，其中 p 取遍 n 的素因子。
• 应用命题 2.1，将 φ⁻¹(m) 限制在区间 (m, A(m)] 内，其中 A(m) = m ∏_{p−1|m} p/(p−1)，乘积取遍满足 p−1 整除 m 的素数 p。
• 利用若 p|n，则 p−1|φ(n) 的事实，因此只有满足 p−1 整除 m 的素数才可能整除任意满足 φ(n) = m 的 n。
• 通过分析 m = 2^k 的情形，利用费马素数 F_n = 2^{2^n} + 1，证明仅当所有相关的 F_n 均为素数时，才可能存在奇数解。
• 利用奇偶性与乘法结构，通过变换 n → 2n，证明对奇数 s ≥ 3，有 O(2s) = E(2s)。
• 应用古普塔关于 φ⁻¹(2^k) 的结果，表明至多存在一个奇数 n 满足 φ(n) = 2^k，其存在性取决于费马数的素性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对哪些偶数 m，集合 φ⁻¹(m) 非空？
• RQ2 φ⁻¹(m) 中奇数解的最大数量是多少，且在何种情况下恰好为其基数的一半？
• RQ3 φ⁻¹(m) 是否可能完全由偶数组成，其发生条件是什么？
• RQ4 是否存在某个 m 使得 φ⁻¹(m) 恰好包含一个元素，这与卡米尔猜想有何关联？
• RQ5 费马数的素性如何影响 φ(n) = 2^k 的奇数解的存在性？

主要发现

• 对所有 m ∈ ℕ*，φ⁻¹(m) 是有限的，其上界由 A(m) = m ∏_{p−1|m} p/(p−1) 给出，其中乘积取遍满足 p−1|m 的素数 p。
• 对所有大于 1 的奇数 m，φ⁻¹(m) 为空集，且对无穷多个偶数 m（如 m = 14）也是如此。
• 对奇数 s ≥ 3，满足 φ(n) = 2s 的奇数解数量等于偶数解数量，即 |O(2s)| = |E(2s)|。
• 当 m = 2^k 时，至多存在一个奇数 n 满足 φ(n) = 2^k，且该 n 存在当且仅当所有相关的费马数 F_n 均为素数。
• 对 k ≥ 32，若不存在 n ≥ 5 的费马数 F_n 为素数，则不存在奇数 n 满足 φ(n) = 2^k。
• 目前尚未发现任何 m 使得 φ⁻¹(m) 恰好包含一个元素，这支持了卡米尔猜想，即这样的 m 不存在。