[论文解读] On the independent subsets of powers of paths and cycles

Pietro Codara, Ottavio M. D’Antona|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2012

Interconnection Networks and Systems参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文推导出路径的 $h$ 次幂（$\mathbf{H}_n^{(h)}$）和环的 $h$ 次幂（$\mathbf{M}_n^{(h)}$）的独立子集的哈斯图中边的确切公式，推广了斐波那契立方体与卢卡斯立方体。结果表明，路径的边数由一个类斐波那契序列与其自身的卷积给出；而环的边数为 $nF_{n-h}^{(h)}$，其中 $F_{n-h}^{(h)}$ 是广义斐波那契数。

ABSTRACT

In the first part of this work we provide a formula for the number of edges of the Hasse diagram of the independent subsets of the h-th power of a path ordered by inclusion. For h=1 such a value is the number of edges of a Fibonacci cube. We show that, in general, the number of edges of the diagram is obtained by convolution of a Fibonacci-like sequence with itself. In the second part we consider the case of cycles. We evaluate the number of edges of the Hasse diagram of the independent subsets of the h-th power of a cycle ordered by inclusion. For h=1, and n>1, such a value is the number of edges of a Lucas cube.

研究动机与目标

• 将斐波那契立方体（针对路径）与卢卡斯立方体（针对环）推广至路径与环的 $h$ 次幂。
• 推导 $\mathbf{P}_n^{(h)}$ 与 $\mathbf{Q}_n^{(h)}$ 的独立子集的哈斯图中边数的闭式公式。
• 证明 $\mathbf{H}_n^{(h)}$ 的边数来源于一个类斐波那契序列与其自身的卷积。
• 证明 $\mathbf{M}_n^{(h)}$ 的边数为 $nF_{n-h}^{(h)}$，其中 $F_{n-h}^{(h)}$ 是广义斐波那契数。
• 为路径与环的幂图中独立子集的总数提供递推关系，扩展已知的 $h=1$ 情况的结果。

提出的方法

• 将路径的 $h$ 次幂 $\mathbf{P}_n^{(h)}$ 与环的 $h$ 次幂 $\mathbf{Q}_n^{(h)}$ 定义为：距离不超过 $h$ 的顶点之间相连的图。
• 将独立子集表示为二进制字符串（路径为线性，环为循环），要求任意两个 1 之间至少相距 $h+1$ 个位置。
• 使用递推关系：路径为 $p_n^{(h)} = p_{n-1}^{(h)} + p_{n-h-1}^{(h)}$，环为 $q_n^{(h)} = q_{n-1}^{(h)} + q_{n-h-1}^{(h)}$，并给出小 $n$ 值的初值。
• 将哈斯图 $M_n^{(h)}$ 中的边数表示为 $n \sum_{k=1}^{\lceil n/(h+1)\rceil} \binom{n-hk-1}{k-1}$，该式可简化为 $nF_{n-h}^{(h)}$。
• 证明路径幂图 $\mathbf{H}_n^{(h)}$ 的边数是序列 $p_n^{(h)}$ 与其自身的卷积。
• 利用组合恒等式及独立子集与满足间距约束的二进制字符串之间的双射关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 路径的 $h$ 次幂的独立子集的哈斯图中，边的数量是多少？
• RQ2 环的 $h$ 次幂的独立子集的哈斯图中，边数如何与广义斐波那契数关联？
• RQ3 能否将 $\mathbf{H}_n^{(h)}$ 的边数表示为一个类斐波那契序列与其自身的卷积？
• RQ4 控制 $\mathbf{P}_n^{(h)}$ 与 $\mathbf{Q}_n^{(h)}$ 中独立子集总数的递推关系是什么？
• RQ5 $\mathbf{H}_n^{(h)}$ 与 $\mathbf{M}_n^{(h)}$ 的公式如何推广已知的 $h=1$ 情况下斐波那契与卢卡斯立方体的结果？

主要发现

• 路径的 $h$ 次幂 $\mathbf{P}_n^{(h)}$ 的独立子集的哈斯图中，边数由序列 $p_n^{(h)}$ 与其自身的卷积给出，其中 $p_n^{(h)}$ 表示 $\mathbf{P}_n^{(h)}$ 中独立子集的数量。
• 对于环 $\mathbf{Q}_n^{(h)}$，哈斯图中的边数为 $M_n^{(h)} = nF_{n-h}^{(h)}$，其中 $F_{n-h}^{(h)}$ 是由递推关系 $F_k^{(h)} = F_{k-1}^{(h)} + F_{k-h-1}^{(h)}$ 定义的广义斐波那契数。
• 路径 $\mathbf{P}_n^{(h)}$ 中独立子集的总数满足递推式 $p_n^{(h)} = p_{n-1}^{(h)} + p_{n-h-1}^{(h)}$（当 $n > 2h$ 时），初值为 $n \leq 2h$ 的情况。
• 环 $\mathbf{Q}_n^{(h)}$ 中独立子集的总数满足递推式 $q_n^{(h)} = q_{n-1}^{(h)} + q_{n-h-1}^{(h)}$（当 $n > 2h+1$ 时），且当 $n \leq 2h+1$ 时 $q_n^{(h)} = n+1$。
• 当 $h=1$ 时，$\mathbf{M}_n^{(1)}$ 的边数简化为 $nF_{n-1}$，与卢卡斯立方体中已知的边数一致。
• 公式 $M_n^{(h)} = n \sum_{k=1}^{\lceil n/(h+1)\rceil} \binom{n-hk-1}{k-1}$ 为 $\mathbf{M}_n^{(h)}$ 中边数提供了直接的组合表达式。