[论文解读] On the interaction between velocity increment and energy dissipation in the turbulent cascade

Renner, Ch., Joachim Peinke+1 more|ArXiv.org|Nov 29, 2002

Plant Water Relations and Carbon Dynamics参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文提出了一种随机马尔可夫框架，用于建模充分发展湍流中速度增量与能量耗散的联合统计演化。通过从实验数据推导出二维福克-普朗克方程，研究发现速度增量的漂移与能量耗散无关，而能量耗散率的动力学在对数耗散率上呈线性关系，表明其确定性演化是解耦的，仅通过噪声项实现随机耦合。

ABSTRACT

We adress the problem of interactions between the longitudinal velocity increment and the energy dissipation rate in fully developed turbulence. The coupling between these two quantities is experimentally investigated by the theory of stochastic Markovian processes. The so-called Markov analysis allows for a precise characterization of the joint statistical properties of velocity increment and energy dissipation. In particular, it is possible to determine the differential equation that governs the evolution along scales of the joint probability density of these two quantities. The properties of this equation provide interesting new insights into the coupling between energy dissipation and velocity incrementas leading to small scale intermittency.

研究动机与目标

• 表征充分发展湍流中速度增量与能量耗散率的联合统计特性。
• 在柯尔莫哥洛夫K41理论假设之外，探究速度增量与能量耗散率之间的相互依赖关系。
• 开发一种基于数据的、无需模型假设的随机马尔可夫过程方法，以描述这些湍流物理量的尺度演化。
• 确定速度增量与能量耗散之间的耦合主要是确定性还是随机性质。
• 通过推导出的福克-普朗克方程，提供所有N尺度联合矩的闭式描述。

提出的方法

• 应用多维马尔可夫过程理论，建模速度增量 $u(r)$ 与平均能量耗散率 $\epsilon_r$ 的联合概率密度函数（pdf）的尺度演化。
• 从实验数据估计漂移与扩散系数，构建描述联合 pdf $p(u(r), \epsilon_r)$ 的二维福克-普朗克方程。
• 使用朗之万方程形式，描述 $u(r)$ 与 $x(r) = \ln(\epsilon_r)$ 随尺度 $r$ 变化的随机动力学，其系数由实验数据拟合得出。
• 将二维模型与分别针对 $u(r)$ 和 $\epsilon_r$ 的一维马尔可夫模型进行比较，以评估简化假设与耦合效应的影响。
• 通过分析系数对 $r$、$u$ 和 $x$ 的依赖性，以及对称性与矩一致性测试，验证模型的有效性。
• 利用福克-普朗克方程推导 $u(r)^\alpha \epsilon_r^\beta$ 的所有N尺度联合矩，无需假设物理模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在充分发展的湍流中，速度增量与能量耗散率在不同尺度上的统计共演化关系如何？
• RQ2 速度增量与能量耗散率之间的耦合在多大程度上是确定性的，又是多大程度是随机的？
• RQ3 是否能够通过无模型、基于数据的福克-普朗克方程来描述 $u(r)$ 与 $\epsilon_r$ 的联合统计行为？
• RQ4 漂移与扩散系数对 $u(r)$ 与 $\epsilon_r$ 的函数依赖关系如何？
• RQ5 二维马尔可夫模型相较于分别描述速度增量与能量耗散的一维模型，在简化或改进方面有何优势？

主要发现

• 速度增量的漂移系数 $D^{(1)}_u(u,x,r)$ 与能量耗散率 $\epsilon_r$ 无关，表明 $u(r)$ 的确定性演化不受 $\epsilon_r$ 的影响。
• 对数能量耗散率的漂移系数 $D^{(1)}_x(u,x,r)$ 在 $x = \ln(\epsilon_r)$ 上呈线性关系，且斜率为正，表明在小尺度上 $\epsilon_r$ 呈自我增强型增长。
• 速度增量方程中的随机项对 $\epsilon_r$ 呈幂律依赖，约为 $\sqrt{\epsilon_r / \bar{\epsilon}}$，表明噪声为由局部耗散驱动的乘性噪声。
• 二维朗之万方程显示出解耦的确定性动力学：$u(r)$ 仅依赖于 $u(r)$，$x(r)$ 仅依赖于 $x(r)$，耦合仅通过噪声项发生。
• 二维形式下速度增量方程在 $u \to -u$ 下保持对称性，意味着奇数阶矩完全由能量级联的影响所导致。
• 推导出的福克-普朗克方程为 $u(r)^\alpha \epsilon_r^\beta$ 的所有N尺度联合矩提供了闭式描述，仅依赖于数据即可实现完整的统计表征。