[论文解读] On the intermediate dimensions of concentric spheres and related sets

Justin T. Tan|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 5

一句话总结

该论文通过分析直径位于 $[\delta, \delta^\theta]$ 范围内的覆盖，计算了 $\mathbb{R}^d$ 中同心球面及其相关集合（如衰减的拓扑学家正弦曲线）的中间维数。论文建立了中间维数的精确公式，揭示了在 $p = 1/(d-1)$ 处的相变现象，并证明了在某些参数范围内，中间维数在 $\theta = 0$ 处连续。

ABSTRACT

The intermediate dimensions are a family of dimensions introduced in 2019 by Falconer, Fraser, and Kempton [arXiv:1811.06493] to interpolate between the Hausdorff dimension and the box dimension. To date, there are limited examples of explicit calculations of the intermediate dimensions of interesting sets. We calculate the intermediate dimensions of sets of concentric spheres converging to the origin in Euclidean spaces. We also consider related sets including isolated points on concentric spheres and attenuated topologist's sine curves.

研究动机与目标

• 计算 $\mathbb{R}^d$ 中收敛于原点的同心球面集合的中间维数。
• 分析相关集合（包括球面上的孤立点和衰减的拓扑学家正弦曲线）的中间维数行为。
• 确定中间维数在 $\theta = 0$ 处连续的条件，尤其关注集合几何结构的影响。

提出的方法

• 通过直径位于 $[\delta, \delta^\theta]$ 的覆盖，使用上、下 $\theta$-中间维数的定义。
• 采用二进制覆盖策略，根据半径阈值将集合划分为二进制环形区域。
• 对球面上的豪斯多夫测度以及衰减曲线上的豪斯多夫测度进行估计，以界定 $s$-维数的直径和。
• 利用积分估计和几何近似，推导覆盖集合数量及其大小的渐近界。
• 分析当 $\delta \to 0^+$ 时维数表达式的行为，以确定使 $|U|^s$ 的和可任意小的下确界 $s$。
• 考虑衰减曲线的不同包络函数，并基于包络函数的衰减速率推导维数公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于半径为 $n^{-p}$ 的 $\mathbb{R}^d$ 中同心球面并集，其中间维数的精确值是什么？
• RQ2 此类集合的中间维数如何依赖于参数 $p$ 和维度 $d$？
• RQ3 在何种条件下，这些集合的中间维数在 $\theta = 0$ 处连续？
• RQ4 与标准曲线相比，衰减的拓扑学家正弦曲线如何影响中间维数？
• RQ5 包络函数的不同衰减速率对中间维数有何影响？

主要发现

• 当 $p \geq 1/(d-1)$ 时，$C_p^d$ 的中间维数在所有 $\theta \in [0,1]$ 上恒为 $d-1$。
• 当 $0 < p < 1/(d-1)$ 时，中间维数为 $\frac{dp(d-1) + d\theta(1 - p(d-1))}{dp + \theta(1 - p(d-1))}$，在 $\theta=0$ 和 $\theta=1$ 处均取值 $d-1$，且对 $\theta$ 有非平凡依赖关系。
• 当中间维数在 $\theta = 0$ 处连续时，仅当 $p < 1/(d-1)$ 成立；当 $p \geq 1/(d-1)$ 时，由于维数公式的相变，不连续。
• 对于包络函数为 $g(x) = x^q$ 的衰减拓扑学家正弦曲线，当中 $pq < 1$ 时，中间维数为 $\frac{p(1+q) + 2\theta(1 - pq)}{p(1+q) + \theta(1 - pq)}$；当 $q \to 0^+$ 时，中间维数为 1。
• 若包络函数衰减快于任意多项式（例如 $e^{-1/x}$），则中间维数为 1；若衰减更慢（例如 $1/(-\log x)$），则中间维数保持为 $1 + \frac{\theta}{\theta + p}$。
• 对于衰减曲线 $\{(x, x^q \sin(\pi x^{-1})) : 0 < x \leq 1\}$，当 $q \geq 1/p$ 时，其中间维数为 $1 + \frac{\theta}{\theta + p}$，表明缓慢衰减可保持维数的增加。