[论文解读] On the K-theory of the C*-algebra generated by the left regular representation of an Ore semigroup

Joachim Cuntz, Siegfried Echterhoff+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文在正则性条件下计算了可数左奥尔半群的左正则表示生成的约化C*-代数的K-理论，表明其同构于稳定子子群的约化群C*-代数的K-理论的直和。该结果依赖于半配套积嵌入和带系数的鲍姆-康奈斯猜想，通过群作用在投影上的方式实现K-理论的约化。

ABSTRACT

We compute the K-theory of C*-algebras generated by the left regular representation of left Ore semigroups satisfying certain regularity conditions. Our result describes the K-theory of these semigroup C*-algebras in terms of the K-theory for the reduced group C*-algebras of certain groups which are typically easier to handle. Then we apply our result to specific semigroups from algebraic number theory.

研究动机与目标

• 计算满足正则性条件的左奥尔半群的左正则表示生成的约化C*-代数的K-理论。
• 将此类半群C*-代数的K-理论与稳定子子群的约化群C*-代数的K-理论联系起来。
• 建立半群C*-代数与稳定子子群的约化群C*-代数的直和的KK-等价的条件。
• 将结果应用于代数数论中的半群，特别是整环上的ax+b半群。
• 分析这些C*-代数的理想结构及其性质，如纯无穷性和实秩零。

提出的方法

• 将半群C*-代数 $ C^*_{r}(P) $ 嵌入到约化交叉积 $ D times_r G $ 的全角中，其中 $ G $ 是左奥尔半群 $ P $ 的包络群。
• 利用左奥尔条件构造一个由投影 $ igracevert E_X igracevert $ 生成的交换C*-代数 $ D $，这些投影与非空的可构造右理想 $ X $ 相关联。
• 在假设 $ G $ 满足带系数的鲍姆-康奈斯猜想的前提下，应用一个一般的K-理论定理，将 $ K_*(D times_r G) $ 约化为 $ K_*(c_0(I) times_r G) $。
• 利用非初等理论证明 $ c_0(I) times_r G $ 与直和 $ igoplus_{[X] otin G ackslash rak{I}} C^*_{r}(G_X) $ 的C*-代数Morita等价，其中 $ G_X $ 是 $ X $ 的稳定子。
• 在鲍姆-康奈斯猜想的更强版本下，建立 $ C^*_{r}(P) $ 与 $ igoplus_{[X] otin G ackslash rak{I}} C^*_{r}(G_X) $ 之间的KK-等价。
• 利用 $ C^*_{r}(P) $ 上的对角映射，为其K-同调赋予环结构，支持进一步的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过群C*-代数来计算左奥尔半群的左正则表示生成的约化C*-代数的K-理论？
• RQ2 在何种条件下，半群C*-代数 $ C^*_{r}(P) $ 与稳定子子群的约化群C*-代数的直和是KK-等价的？
• RQ3 数域整环上的ax+b半群C*-代数的K-理论结构是什么？
• RQ4 半群C*-代数 $ C^*_{r}(R times R^ imes) $ 是否具有实秩零？其K-理论与关联的环C*-代数的K-理论相比如何？
• RQ5 ax+b半群的左正则表示与右正则表示的K-理论不变量有何异同？

主要发现

• 对于满足独立可构造右理想条件且群 $ G $ 满足带系数的鲍姆-康奈斯猜想的可数左奥尔半群 $ P $，其约化C*-代数 $ C^*_{r}(P) $ 的K-理论同构于 $ igoplus_{[X] otin G ackslash rak{I}} K_*(C^*_{r}(G_X)) $，其中 $ G_X $ 是 $ X \neq \text{empty} $ 在 $ G $-作用下的稳定子。
• 若 $ G $ 满足鲍姆-康奈斯猜想的强版本，则 $ C^*_{r}(P) $ 与 $ igoplus_{[X] otin G ackslash rak{I}} C^*_{r}(G_X) $ 是KK-等价的，表明其具有强结构相似性。
• 对于数域整环 $ R $ 上的ax+b半群 $ R times R^ imes $，其约化C*-代数 $ C^*_{r}(R times R^ imes) $ 是纯无穷的，并具有理想性质。
• $ K_0(C^*_{r}(R times R^ imes)) $ 是有限生成的，而关联环C*-代数 $ \frak{A}[R] $ 的 $ K_0 $ 不是，这意味着在 $ K_0 $ 上的商映射不是满射。
• 半群C*-代数 $ C^*_{r}(R times R^ imes) $ 不具有实秩零，这是通过非$ K_0 $-可提升性及Paschke-Rørdam的结果所证明的。
• 由 $ R times R^ imes $ 的右正则表示生成的C*-代数与左正则表示生成的代数不同，但其K-理论不变量相同。