[论文解读] On the Kolmogorov set for Many-Body Problems

Gabriella Pinzari|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 18被引用 26

一句话总结

本文通过适用于适当退化的系统的改进KAM理论，证明了在空间N体行星问题中存在正测度的拟周期解族（柯尔莫哥洛夫集）。通过应用角动量约化、正则化以及部分/完全Deprit变量变换，作者证明了KAM理论所需的非退化性和非共振条件，最终在相空间中构造出(3N−1)维和(3N−2)维的正测度不变环面。

ABSTRACT

I defended my PhD Thesis in Rome, Università Roma Tre, on April, 23, 2009, under the direction of Professor Luigi Chierchia. The judging committee was composed by Professors M. Berti, A. Celletti, C. Falcolini, J. Féjoz. Professors M. Berti and J. Féjoz refereed my thesis. The main result of my thesis is the first direct proof (the first general proof was given in [J. Féjoz, ETDS, 2004]) of a famous statement by V. I. Arnold (1963), usually referred to as "Arnold's Planetary Theorem". My proof of Arnold's Planetary Theorem relies on the rediscovery, during the year 2008, of a symplectic set of action-angle variables (described in §4 of my thesis) which perform explicitly the reduction of rotation invariance of the system. Indeed, even though in a different form, they had been previously considered by [F. Boigey, Cel. Mech. Dyn. Astr., 1982] and [A. Deprit, Cel. Mech. Dyn. Astr., 1983]. The version I found in 2008 corresponds to the "planetary" form of Boigey-Deprit variables, since it includes the elliptic elements of the instantaneous ellipses of the planets around the sun and for this reason is especially fitted to this problem . I then regularized "my" planetary variables to include co-planar and co-circular motions. This regularization leads to a set of mixed action-angle and rectangular variables analogous to Poincaré' variables but better fitted to rotation invariance of the system, since they exhibit a cyclic couple of conjugated variables. I finally applied my regularized variables to the problem, checked non-trivial torsion and obtained the proof of the theorem. I wish to thank J. Féjoz for mentioning my contribution to the proof of Arnold's Theorem, and especially my rediscovery of Deprit's reduction, in his paper [J. Fejoz, DCDS-A, 2013].

研究动机与目标

• 在空间N体行星问题中建立正测度拟周期解族（柯尔莫哥洛夫集）的存在性。
• 将适当退化的KAM理论扩展至强引力耦合的多体系统背景。
• 在平面与空间情形下，证明约化哈密顿量所需的非退化性和非共振条件。
• 通过部分与完全约化技术，构造(3N−1)维与(3N−2)维的不变KAM环面。
• 通过正则化与作用量-角度变量，克服退化性与奇异性问题，验证KAM理论在完整空间行星问题中的适用性。

提出的方法

• 利用双时间尺度KAM定理处理行星问题的摄动结构。
• 应用角动量约化以消除质心运动并减少自由度。
• 采用Deprit的作用量-角度变量对哈密顿量进行正则化，消除碰撞引起的奇异性。
• 通过Delaunay-Poincaré与Deprit映射进行部分与完全约化，以简化相空间结构。
• 应用定量隐函数定理与柯西型估计，控制KAM迭代的收敛性。
• 利用Laplace系数与Birkhoff标准型分析作用量-角度变量下摄动哈密顿量的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在空间N体行星问题中构造出正测度的拟周期解族（柯尔莫哥洛夫集）？
• RQ2 在约化相空间中，KAM理论适用所需的精确非退化性与非共振条件是什么？
• RQ3 在N体问题中，如何对因近距离相遇与碰撞引发的奇异性进行正则化？
• RQ4 在部分约化与完全约化系统中，不变KAM环面的维数是多少？
• RQ5 KAM收敛理论能否扩展至强耦合且高度退化的适当退化系统？

主要发现

• 本文证明了在N ≥ 3时，空间N体行星问题中存在正测度的拟周期解族（柯尔莫哥洛夫集）。
• 在空间情形下，约化哈密顿量的非退化性条件（包括“扭转”条件）已严格验证。
• 柯尔莫哥洛夫集在部分约化系统中维数为(3N−1)，在完全约化系统中维数为(3N−2)。
• 柯尔莫哥洛夫集的测度有正下界，其依赖于小参数µ。
• 通过定量隐函数定理与解析函数上的柯西型估计，确立了KAM迭代的收敛性。
• Deprit变量与正则化的应用成功消除了奇异性，使KAM理论可应用于完整行星问题。