[论文解读] On the Lebesgue measure of the Julia set of a quadratic polynomial

Mikhail Lyubich|arXiv (Cornell University)|May 28, 1991

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 47

一句话总结

本文证明了若二次多项式 $ z^2 + a $ 的映射无无理中性周期点且非无限可重整化，则其 Julia 集的 Lebesgue 测度为零。通过 Yoccoz 划分与广义多项式类似映射构造，作者表明临界表的非周期性可通过模估计与极端长度不等式推出零测度，将 McMullen 的三次多项式结果推广至二次情形。

ABSTRACT

The goal of this note is to prove the following theorem: Let $p_a(z) = z^2+a$ be a quadratic polynomial which has no irrational indifferent periodic points, and is not infinitely renormalizable. Then the Lebesgue measure of the Julia set $J(p_a)$ is equal to zero. As part of the proof we discuss a property of the critical point to be {\it persistently recurrent}, and relate our results to corresponding ones for real one dimensional maps. In particular, we show that in the persistently recurrent case the restriction $p_a|ω(0)$ is topologically minimal and has zero topological entropy. The Douady-Hubbard-Yoccoz rigidity theorem follows this result.

研究动机与目标

• 在特定动力条件下，确立二次多项式 $ p_a(z) = z^2 + a $ 的 Julia 集的 Lebesgue 测度。
• 将 McMullen 对三次多项式的零测度结果推广至二次情形。
• 通过临界点的持续递归及其对拓扑极小性与熵的影响，刻画其动力行为。
• 通过 Julia 集上无可测不变线场，证明 $ p_a $ 的刚性。

提出的方法

• 利用 Yoccoz 划分与临界轨迹，从 $ p_a $ 的动力学构造广义多项式类似映射 $ g $。
• 通过调和函数的 Dirichlet 积分的倒数，定义多连通区域 $ A = D \setminus K $ 的模 $ \mu(A) $。
• 使用表技术组织临界块的逆像，并推导模 $ \mu^n_k $ 的递推关系，其中 $ \mu^{n-1}_{k+1} = \mu^n_k $ 或 $ 2\mu^n_k $，具体取决于临界性。
• 应用 Grötzsch 不等式与等周不等式，证明 $ \mu(A(x)) \geq \sum \mu(A^n(x)) = \infty $，从而推出 $ \bigcap V^n(x) $ 为单点。
• 建立持续递归与存在具有非周期临界表的多项式类似映射 $ g $ 之间的联系。
• 利用不等式 $ \lambda(D)/\lambda(K) \geq 1 + 4\pi\mu(A) $，证明若 $ \sum \mu(A^n(x)) = \infty $，则 $ \lambda(K(g)) = 0 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种动力条件下，二次多项式 $ p_a(z) = z^2 + a $ 的 Julia 集为 Lebesgue 零测度集？
• RQ2 临界点的持续递归如何关联 Julia 集的拓扑结构与测度？
• RQ3 能否利用多连通区域的模来证明多项式类似映射的 Julia 集为零测度？
• RQ4 临界表的非周期性与全 Julia 集的拓扑结构之间有何关系？
• RQ5 无可测不变线场如何导致 $ p_a $ 的刚性？

主要发现

• 若 $ p_a $ 无无理中性周期点且非无限可重整化，则 Julia 集 $ J(p_a) $ 的 Lebesgue 测度为零。
• 当临界表为非周期时，所构造的多项式类似映射 $ g $ 的全 Julia 集 $ K(g) $ 为零 Lebesgue 测度的 Cantor 集。
• 临界点的持续递归意味着限制映射 $ p_a|\omega(0) $ 为拓扑极小且具有零拓扑熵。
• 模估计 $ \lambda(D)/\lambda(K) \geq 1 + 4\pi\mu(A) $ 在 $ \sum \mu(A^n(x)) = \infty $ 时导致零测度，而该条件在非周期性下成立。
• 临界表为非周期意味着 $ \bigcap V^n(x) $ 为单点，从而确认 $ K(g) $ 的 Cantor 集结构。
• 由于 $ J(p_a) $ 上无可观测不变线场，$ p_a $ 的刚性成立，意味着 Julia 集或 Fatou 集上无法进行任何形变。