[论文解读] On the local density formula and the Gross-Keating invariant with an Appendix `The local density of a binary quadratic form' by T. Ikeda and H. Katsurada

Sungmun Cho|arXiv (Cornell University)|May 9, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文证明，对于非分歧2-adic域上的二次格，其局部密度完全由 $L \oplus -L$ 的Gross-Keating不变量以及所有相关 $i$ 的 $
\mathrm{EGK}(L \cap 2^i L^\sharp)^{\leq 1}$ 的扩展Gross-Keating不变量决定，从而解决了关于局部密度通过GK数据表示的关键问题。附录给出了2-adic域上二元二次型的完整局部密度公式。

ABSTRACT

T. Ikeda and H. Katsurada have developed the theory of the Gross-Keating invariant of a quadratic form in their recent papers [IK1] and [IK2]. In particular, they prove that the local factor of the Fourier coefficients of the Siegel-Eisenstein series is completely determined by the Gross-Keating invariant with extra datum, called the extended GK datum, in [IK2]. On the other hand, such local factor is a special case of the local densities for a pair of two quadratic forms. Thus we propose a general question if the local density can be determined by certain series of the Gross-Keating invariants and the extended GK datums. In this paper, we prove that the answer to this question is affirmative, for the local density of a single quadratic form defined over an unramified finite extension of $\mathbb{Z}_2$. In the appendix, T. Ikeda and H. Katsurada compute the local density formula of a single binary quadratic form defined over any finite extension of $\mathbb{Z}_2$.

研究动机与目标

• 确定2-adic域上二次格的局部密度是否能完全通过扩展Gross-Keating（EGK）数据表示。
• 将Ikeda与Katsurada的框架推广，他们曾证明Siegel-Eisenstein级数的傅里叶系数由EGK不变量控制，推广至局部密度 $\alpha(L,L)$ 的情形。
• 为非分歧2-adic域上格的局部密度 $\alpha(L,L)$ 建立完整的不变量理论刻画。
• 在附录中提供2-adic域上二元二次型的完整局部密度公式，作为基础性结果。

提出的方法

• 作者为格 $L$ 的Jordan分解的每个Jordan分量 $L_i$ 定义了扩展Gross-Keating不变量 $\mathrm{EGK}(L \cap 2^i L^\sharp)^{\leq 1}$。
• 通过Jordan分解 $L = \oplus_i L_i$ 分析 $L \cap 2^i L^\sharp$ 的结构并计算其Gross-Keating不变量。
• 主要结果通过证明局部密度 $\alpha(L,L)$ 仅依赖于 $\mathrm{GK}(L \oplus -L)$ 和多重集 $\{ \mathrm{EGK}(L \cap 2^i L^\sharp)^{\leq 1} \}_{i \in \mathbb{Z}}$ 获得。
• 证明依赖于对非分歧2-adic域上二次格结构的详细分析，特别是通过范数形式与对偶格 $L^\sharp$ 的使用。
• 附录通过显式不变量和基于分歧与赋值的案例分析，计算了任意 $\mathbb{Z}_2$ 有限扩张上二元二次型的局部密度。
• 作者使用约化形式与弱等价的概念对相关格进行分类，并计算其不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过扩展Gross-Keating不变量完全确定非分歧2-adic域上二次格 $L$ 的局部密度 $\alpha(L,L)$？
• RQ2 在所有 $i$ 上，多重集 $\mathrm{EGK}(L \cap 2^i L^\sharp)^{\leq 1}$ 与 $\mathrm{GK}(L \oplus -L)$ 一起是否足以确定 $\alpha(L,L)$？
• RQ3 2-adic域上二元二次型的完整局部密度公式是什么？
• RQ4 不变量 $\mathrm{GK}(L \oplus -L)$ 与 $\mathrm{EGK}(L \cap 2^i L^\sharp)^{\leq 1}$ 是否足以区分具有不同局部密度的格？

主要发现

• 对于 $\mathbb{Z}_2$ 的非分歧有限扩张上的二次格 $L$，其局部密度 $\alpha(L,L)$ 完全由 $\mathrm{GK}(L \oplus -L)$ 和所有满足 $L \cap 2^i L^\sharp \neq 0$ 的 $i$ 的 $\mathrm{EGK}(L \cap 2^i L^\sharp)^{\leq 1}$ 的集合决定。
• 附录提供了任意 $\mathbb{Z}_2$ 有限扩张上二元二次型局部密度的完整公式，该公式以Gross-Keating不变量和域扩张的分歧类型表示。
• 对于二次扩张 $E/F$ 上的格 $L = \mathfrak{o}_{E,f}$，值 $\mathrm{EGK}(L \cap \varpi^i L^\sharp)^{\leq 1}$ 依赖于分歧度与赋值 $f$。
• 作者构造了显式反例，表明当 $e > 1$ 时，仅 $\mathrm{GK}(L \oplus -L)$ 与 $\mathrm{EGK}(L \cap \varpi^i L^\sharp)^{\leq 1}$ 不足以确定 $\beta(L)$，但完整的不变量集合足以确定 $\alpha(L,L)$。
• 结果确认，扩展GK数据在2-adic非分歧情形下构成局部密度 $\alpha(L,L)$ 的完整不变量系统。