[论文解读] On the logarithm of the Riemann zeta-function and its iterated integrals

Shōta Inoue|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文建立了黎曼ζ函数对数及其迭代积分的显式逼近公式，揭示了这些函数值分布的新见解，并阐明了其与非平凡零点分布及素数分布的联系。关键结果是在黎曼猜想成立的假设下，对迭代积分超过给定大小的例外集合的测度给出了精确估计，表明其衰减速度为 $ V^{1/(m+1)}(\log T)^{m/(m+1)} $ 的指数形式。

ABSTRACT

This paper gives some results for the logarithm of the Riemann zeta-function and its iterated integrals. We obtain a certain explicit approximation formula for these functions. The formula has some applications, which are related with the value distribution of these functions and a relation between prime numbers and the distribution of zeros in short intervals.

研究动机与目标

• 推导黎曼ζ函数对数及其迭代积分的显式逼近公式。
• 分析 $ \eta_m(s) = \int \eta_{m-1}(s) dt $ 的值分布，尤其在临界线上。
• 探讨迭代积分 $ S_m(t) $ 的增长性、非平凡零点分布以及素数分布之间的联系。
• 在黎曼猜想下，对满足 $ |\eta_m(1/2 + it)| > V $ 的例外集合建立定量估计。
• 统一并拓展关于 $ S_m(t) $ 的已知结果，包括在林德洛夫猜想和黎曼猜想下的界。

提出的方法

• 将 $ \eta_m(s) $ 递归定义为 $ \log \zeta(s) $ 的 $ m $ 阶迭代积分，并引入校正项 $ c_m(\sigma) $ 以确保适当的解析延拓。
• 在 $[0,1]$ 上引入一个光滑且紧支集的权函数 $ f $，并定义相关函数 $ u_{f,H}(x) $、$ v_{f,H}(y) $ 和 $ U_m(z) $，其中涉及修正的指数积分 $ E_{m+1}^* $。
• 构造一个逼近 $ Y_m(s,X) $，用于捕捉满足 $ |s - \rho| \leq 1/\log X $ 的零点 $ \rho $ 的贡献，其中 $ m=0 $ 时使用 $ \log((s - \rho)\log X) $，而 $ m \geq 1 $ 时使用多项式和。
• 利用近似函数方程和佩龙型公式，将 $ \eta_m(s) $ 与 $ n \leq Z $ 的和联系起来，权重为 $ v_{f,H}(e^{\log n / \log Z}) $。
• 通过矩估计和指数矩界方法（基于 $ L^2 $-范数的指数和在素数与整数上的估计）建立矩估计。
• 通过指数矩方法推导例外集合 $ \mathscr{T}_m(T,X,V) $ 的测度估计，得到具有高斯型尾部衰减的界，其指数为 $ -c V^{1/(m+1)} (\log T)^{m/(m+1)} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于零点和算术数据，显式逼近黎曼ζ函数的对数及其迭代积分？
• RQ2 在黎曼猜想下，满足 $ |\eta_m(1/2 + it)| > V $ 的 $ t \in [T, 2T] $ 的集合的测度是多少？
• RQ3 迭代积分 $ S_m(t) $ 的增长速率如何与林德洛夫猜想及零点分布相关联？
• RQ4 值分布 $ \log \zeta(1/2 + it) $ 与短区间内素数分布之间有何联系？
• RQ5 能否利用 $ \eta_m(s) $ 的逼近公式，推导出其显著偏离典型大小的例外集合的精确界？

主要发现

• 建立了 $ \eta_m(s) $ 的显式逼近公式，将其分解为靠近 $ s $ 的零点之和与整数上的算术和，且误差控制精确。
• 在黎曼猜想下，例外集合 $ \mathscr{T}_m(T,X,V) $ 满足 $ |\eta_m(1/2 + it)| > V $ 的测度满足 $$ \operatorname{meas}(\mathscr{T}_m(T,X,V)) \ll \exp\left( -c_4 V^{1/(m+1)} (\log T)^{m/(m+1)} \log\left(e \frac{V^{(2m+1)/(2m+2)} (\log X)^m}{(\log T)^{m/(2m+2)}} \right) \right)。 $$
• 当 $ V \leq \frac{\log T}{(\log X)^{m+1}} $ 时，例外集合的测度衰减快于任何 $ \log T $ 的幂次，表明 $ \eta_m(1/2 + it) $ 在典型值附近具有强集中性。
• 该界表明，在黎曼猜想下，$ S_m(t) = \pi^{-1} \operatorname{Im}(\eta_m(1/2 + it)) $ 几乎处处满足 $ S_m(t) = o\left( (\log T)^{m/(m+1)} \right) $。
• 该结果强化了已知的 $ S_m(t) $ 界，表明黎曼猜想蕴含 $ S_m(t) = o(T^{m-2}) $ 对 $ m \geq 3 $ 成立，与 Fujii 的等价性一致。
• 该方法为研究 $ \log \zeta(1/2 + it) $ 的值分布提供了新框架，通过矩估计将其与短区间内零点和素数的分布联系起来。