[论文解读] On the Markov property of strong solutions to SDE with generalized coefficients

Ludmila L. Zaitseva|ArXiv.org|Sep 11, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文为涉及超平面上局部时间的多维随机微分方程（SDE）强解的马尔可夫性质提供了完整证明。通过构建一个同时容纳维纳噪声和依赖于局部时间的鞅的合适过滤，作者证明了解在庞滕科意义下为广义扩散过程，将偏斜布朗运动的结果推广至高维情形，且噪声分量非马尔可夫。

ABSTRACT

We show the complete proof of the Markov property of the strong solution to a multidimensional SDE whose coefficients involve local time on a hyperplane of the unknown process.

研究动机与目标

• 为涉及超平面上局部时间系数的多维SDE强解的马尔可夫性质提供完整证明。
• 填补现有文献中的空白，即马尔可夫性质被断言但未在多维情形下严格证明，尤其在增量非独立的情况下。
• 构造一个过滤，使其同时支持维纳过程和依赖于局部时间的鞅，确保联合可测性与适应性。
• 将解表征为庞滕科意义下的广义扩散过程，具有广义漂移与扩散系数。

提出的方法

• 构造一个过滤 ${\cal M}_t = {\cal F}_t^w \vee \widetilde{{\cal F}}_t$，将维纳过程 $w(t)$ 的自然过滤 ${\cal F}_t^w$ 与基于第二个独立维纳过程 $\widetilde{w}(t)$ 的新过滤 $\widetilde{{\cal F}}_t$ 结合。
• 定义过程 $\zeta(t) = \widetilde{w}(\eta_t)$，其中 $\eta_t$ 为一维分量 $x^1(t)$ 在 0 处的局部时间，并证明其为关于 ${\cal M}_t$ 的平方可积鞅，其二次变差为 $\eta_t$。
• 通过阶梯函数逼近的极限论证，证明 $\zeta(t)$ 关于 ${\cal M}_t$ 可测，且该过滤满足SDE定义所需的性质。
• 通过条件独立性论证，利用维纳过程的独立增量性质与局部时间泛函的马尔可夫性质，证明强马尔可夫性质。
• 通过验证无穷小生成元条件，将解表征为广义扩散过程：四阶矩趋于零，漂移关于 $\theta$ 为线性，二次变差匹配广义扩散矩阵。
• 利用 $w(t)$、$\eta_t$ 与 $\zeta(t)$ 增量的联合分布，应用条件期望技术，通过柱集上的极限过程验证马尔可夫性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有局部时间项的多维SDE强解，其漂移与鞅系数中包含局部时间时，是否满足马尔可夫性质？
• RQ2 能否构造一个过滤，使得维纳过程与依赖于局部时间的鞅均适应于该过滤，且解保持马尔可夫性？
• RQ3 当鞅噪声缺乏独立增量时，如何在多维情形下严格证明马尔可夫性质？
• RQ4 在广义漂移与扩散系数具有奇异性的前提下，解在庞滕科意义下在多大程度上可被视为广义扩散过程？
• RQ5 解过程的无穷小特征（漂移与扩散）是什么？它们如何体现超平面上局部时间的存在？

主要发现

• 在所构造的过滤 ${\cal M}_t$ 下，具有超平面上局部时间的SDE强解是马尔可夫过程，解决了文献中长期存在的空白。
• 过程 $\zeta(t) = \widetilde{w}(\eta_t)$ 是关于 ${\cal M}_t$ 的平方可积鞅，其二次变差为 $\eta_t$，且适应于过滤 ${\cal M}_t$。
• 解满足广义扩散过程的条件：当 $t \downarrow 0$ 时四阶矩趋于零，漂移为 $q\nu + \alpha(x^S)$，扩散矩阵为 $I + \beta(x^S)$，二者均在超平面 $S$ 上奇异支撑。
• 无穷小漂移为 $\int_S \varphi(z)(q\nu + \alpha(z), \theta) d\sigma_z$，表明局部时间项导致了方向性偏置。
• 无穷小方差为 $\int_S (\beta(z)\theta, \theta) \varphi(z) d\sigma_z + (\theta, \theta) \int_{\mathbb{R}^d} \varphi(z) dz$，表明扩散矩阵在 $S$ 上具有奇异分量。
• 证明通过柱集上的严格条件数学期望论证完成，利用了维纳过程的独立增量结构与局部时间泛函的马尔可夫性质。