[论文解读] On the Maximal Number of Real Mutually Unbiased Bases

Paweł Wocjan|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2005

Polynomial and algebraic computation参考文献 3被引用 1

一句话总结

本文研究了 R^d 中实相互 unbiased 基（MUBs）的最大数量，证明实 MUB 对仅存在于维度 2 或 4 的倍数中，实 MUB 三元组仅存在于平方维度中。本文确立了当 d = 2^{2m} 时，实 MUB 的最大数量为 (d+2)/2；当 d = s^2 且 s 为偶数但非 2 的幂时，若存在 s 阶 Hadamard 矩阵，则存在下界 N_MOLS(s)+2，将两个实 MUB 的存在性与 Hadamard 猜想联系起来。

ABSTRACT

In this note I point out that (1) pairs of real mutually unbiased bases (i.e., orthonormal bases of R^d) can only exist in dimensions 2 or d where d is a multiple of 4 and that (2) triples of real mutually unbiased bases can only exist for dimensions d that are also squares. For the case d=2^{2m} the maximal number of real MUBs is given by (d+2)/2 (this follows from known results on extremal euclidean line-sets). In the case d=s^2 where s is an even number that is not a power of 2, we have the lower bound N_MOLS(s)+2, where N_MOLS(s) denotes the maximal number of mutually orthogonal Latin square of order s, provided that there exists a Hadamard matrix of size s. It is not known how good this bound is. Moreover, I observe that the question of deciding if there always two real MUBs is equivalent to the Hadamard conjecture.

研究动机与目标

• 确定 R^d 中实相互 unbiased 基（MUBs）的最大数量。
• 识别实 MUB 对与三元组存在的维度 d 的必要条件。
• 在特定维度（特别是 s 为偶数但非 2 的幂的平方数）下，建立实 MUB 数量的下界。
• 将两个实 MUB 的存在性与长期存在的 Hadamard 猜想联系起来。

提出的方法

• 分析 R^d 中的正交基，以推导实相互 unbiased 基存在的约束。
• 应用关于极值欧几里得直线集的已知结果，确定当 d = 2^{2m} 时实 MUB 的最大数量。
• 利用相互正交拉丁方（MOLS）理论，为 d = s^2 且 s 为偶数但非 2 的幂的情况推导下界。
• 利用 s 阶 Hadamard 矩阵的存在性，验证此类维度下 N_MOLS(s)+2 的下界。
• 建立两个实 MUB 存在性与 Hadamard 猜想之间的等价性。
• 采用组合与代数技术，分析实 MUB 配置的结构性约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些维度 d 下，实相互 unbiased 基对可以存在？
• RQ2 实 MUB 三元组存在的维度 d 必需满足什么条件？
• RQ3 当 d = 2^{2m} 时，实 MUB 的最大数量是多少？
• RQ4 在 d = s^2 且 s 为偶数的平方维度下，相互正交拉丁方的最大数量与实 MUB 数量的下界有何关系？
• RQ5 在每个维度 d 下两个实 MUB 的存在性是否等价于 Hadamard 猜想？

主要发现

• 实相互 unbiased 基对仅存在于 d = 2 或 d ≡ 0 (mod 4) 的维度中。
• 实相互 unbiased 基三元组仅存在于 d 为完全平方数时。
• 当 d = 2^{2m} 时，实 MUB 的最大数量为 (d+2)/2，该结果源自极值欧几里得直线集理论。
• 当 d = s^2 且 s 为偶数但非 2 的幂时，若存在 s 阶 Hadamard 矩阵，则实 MUB 数量存在下界 N_MOLS(s)+2。
• 在每个维度 d 下两个实 MUB 的存在性等价于 Hadamard 猜想。
• 对于 d = s^2 的下界 N_MOLS(s)+2 尚未被证明为紧致，其最优性仍为开放问题。